三元環(huán)計(jì)數(shù)

問(wèn)題

給出一張n個(gè)點(diǎn)m條邊的無(wú)向圖，問(wèn)圖中有多少個(gè)三元組{ u , v , w } ，滿足圖中存在 { (u,v) , (v,w) , (w,u) } 三條邊。

求解

Step1 定向

將所有點(diǎn)按 度數(shù) 從小到大排序，如果度數(shù)相同按 點(diǎn)編號(hào) 從小到大排序，u的排名記作 $rn{k}_u$。

將這張圖轉(zhuǎn)化為有向圖：對(duì)于一條無(wú)向邊 x ? y ，若 $rn{k}_x>rn{k}_y$，那么就將這條無(wú)向邊變成 x → y 。反之則反之。

這樣轉(zhuǎn)化后，這張圖一定是 有向無(wú)環(huán)圖 。

證明：

使用反證法，假設(shè)有一個(gè)環(huán)：$a\to b\to c\to a$，
那么有（設(shè) x 的度數(shù)為 $d_x$）：
$d_a\ge d_b\ge d_c\ge d_a$，要使該不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足 $d_a=d_b=d_c=d_a$。

設(shè) x 的編號(hào)為 $i{d}_x$，那么有：$i{d}_a>i{d}_b>i{d}_c>i{d}_a$，即 $i{d}_a>i{d}_a>i{d}_a>i{d}_a$，該式子不成立，故假設(shè)不成立，證畢。

Step2 暴力枚舉

枚舉一個(gè)點(diǎn) u 和它的所有出邊到的點(diǎn) v 并標(biāo)記，再枚舉 v 的出邊到的點(diǎn) w，如果 w 也有標(biāo)記則表示找到了一個(gè)三元環(huán)

這樣，每個(gè)三元環(huán)只會(huì)在 u 被統(tǒng)計(jì)一次（$rn{k}_u$在三元環(huán)中是最大的）

Code

#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=1e5+5; const int M=2e5+5; struct Edge{int v,nxt; }edge[M<<1]; int n,m,head[N],cnt,a[M],b[M]; int d[N],ans,mark[N]; void add_edge(int u,int v){edge[++cnt].v=v;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt; } bool cmp(int a,int b){if(d[a]==d[b]) return a>b;return d[a]>d[b]; } int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);d[a[i]]++;d[b[i]]++;}for(int i=1;i<=m;i++){if(d[a[i]]>d[b[i]]||(d[a[i]]==d[b[i]]&&a[i]>b[i]))add_edge(a[i],b[i]);else add_edge(b[i],a[i]);}for(int u=1;u<=n;u++){for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt) mark[edge[i].v]=u;for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].v;for(int j=head[v];j;j=edge[j].nxt){int w=edge[j].v;if(mark[w]==u) ans++;}}}printf("%d\n",ans);return 0; }

時(shí)間復(fù)雜度

考慮每一條邊被遍歷的次數(shù)：對(duì)于一條邊 $x\to y$，他被遍歷的次數(shù)為 $i{n}_x$ 。（$i{n}_x$表示 x 的入度），那么總的時(shí)間復(fù)雜度就是每一條邊的 $i{n}_x$ 之和。

又可以發(fā)現(xiàn)，$i{n}_x$ 的上限就是 $\sqrt{m}$，因?yàn)橐竺總€(gè)連向 x 的點(diǎn)的度都大于 $i{n}_x$ ，也就是說(shuō)，有 $i{n}_x$ 個(gè)點(diǎn)的度數(shù)大于$i{n}_x$，這樣就至少需要 $i{n}_x^2$ 條邊，所以 $i{n}_x^2\le m?i{n}_x\le \sqrt{m}$

所以總時(shí)間復(fù)雜度 $O(m\sqrt{m})$

四元環(huán)計(jì)數(shù)

問(wèn)題

給出一張n個(gè)點(diǎn)m條邊的無(wú)向圖，問(wèn)圖中有多少個(gè)四元組{ u , v , w ，x } ，滿足圖中存在 { (u,v) , (v,w) , (w,x)，(x,u) } 四條邊。

求解

Step1 定向

同三元組計(jì)數(shù)

Step2 暴力枚舉

枚舉一個(gè)點(diǎn) u 和它的所有 出邊 到的點(diǎn) v ，然后枚舉 v 的 無(wú)向邊 到的點(diǎn) w，其中要求 $rn{k}_u>rn{k}_w$

每訪問(wèn)到一個(gè) w 給答案加上 w 的標(biāo)記，并給 w 的標(biāo)記加 1

這樣，每個(gè)四元環(huán)只會(huì)在 u 被統(tǒng)計(jì)一次（$rn{k}_u$在四元環(huán)中是最大的）

Code

#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=1e5+5; const int M=2e5+5; inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f; } struct Edge{int v,nxt; }edge[M<<1],e[M<<1]; int n,m,head[N],cnt,hd[N],ct,a[M],b[M]; int d[N],mark[N],tmp[N]; long long ans; void add_edge(int u,int v){edge[++cnt].v=v;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt; } void add_e(int u,int v){e[++ct].v=v;e[ct].nxt=hd[u];hd[u]=ct; } bool cmp(int a,int b){if(d[a]==d[b]) return a>b;return d[a]>d[b]; } int main(){n=read();m=read();for(register int i=1;i<=m;i++){a[i]=read();b[i]=read();d[a[i]]++;d[b[i]]++;add_e(a[i],b[i]);add_e(b[i],a[i]);}for(register int i=1;i<=m;i++){if(d[a[i]]>d[b[i]]||(d[a[i]]==d[b[i]]&&a[i]>b[i]))add_edge(a[i],b[i]);elseadd_edge(b[i],a[i]);}ans=0;for(register int u=1;u<=n;u++){for(register int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].v;for(register int j=hd[v];j;j=e[j].nxt){int w=e[j].v;if(d[u]>d[w]||(d[u]==d[w]&&u>w)){ans+=1ll*tmp[w];tmp[w]++;}}}for(register int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].v;for(register int j=hd[v];j;j=e[j].nxt){int w=e[j].v;if(d[u]>d[w]||(d[u]==d[w]&&u>w)) tmp[w]=0;}}}printf("%lld\n",ans);return 0; }

時(shí)間復(fù)雜度

$O(m\sqrt{m})$

證明（自己想的，不保證對(duì)）：

對(duì)于邊$x?y$，假設(shè)它定向后為 $x\to y$，
那么作為無(wú)向邊它被遍歷 $i{n}_x+i{n}_y$ 次，作為有向邊被遍歷 $i{n}_x$ 次，總過(guò)被遍歷 $2i{n}_x+i{n}_y$ 次

總復(fù)雜度仍是 $O(m\sqrt{m})$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三元环计数四元环计数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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