寶藏

首先，這個問題等價于給定兩個字符串S,T ，每次詢問$LCS(S[1,n],T[x,y])$。
對每個詢問重新求一遍$LCS$顯然不現實，又因為$y$都是連續變化的，我們考慮探討
$LCS(S[1,n],T[x,y])與LCS(S[1,n],T[x,y?1])的關系：$

其實很明顯$LCS(S[1,n],T[x,y])=LCS(S[1,n],T[x,y?1])或LCS(S[1,n],T[x,y?1])+1$
相等的情況可以不用管，我們只要關注什么情況下加上$y$后匹配數會+1

設一個大寫字母代表定義一個字符串，一個小寫字母代表定義一個字符

引理：
所有滿足$LCS(S,Py)=LCS(S,P)+1$的位置構成T的一個后綴
證明：
若$LCS(S,Py)=LCS(S,P)+1$
則$LCS(S,Gy)=LCS(S,G)+1$($G$為$P$的后綴)
即$S$中至少有一個$y$是$P$匹配不到的，
那$G$也是匹配不到這個$y$的，所以多加一個$y$一定會讓匹配數+1

也就是說，假設$i$是滿足$LCS(S,T[i,y])=LCS(S,T[i,y?1])+1$的位置中最靠前的，那么
$?j>=i滿足LCS(S,T[j,y])=LCS(S,T[j,y?1])+1$
也就是說，只要我們找到這個位置最靠前的$i$，便能找到所有$j$

現在就可以考慮 dp 了。設$f(i,j)$表示考慮了$S$長度為$i$的前綴、$T$長度為$j$的前綴，$T[1,j]$ 最長的后綴$Py$滿足$LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i],P)+1$。$f(i,j)$表示$Py$的起始位置。

考慮$f(i,j)$的轉移：
先把$LCS$的轉移式打出來：
$$LC{S}_{i,j}=\{\begin{array}{rl}& LC{S}_{i?1,j?1}+1(S[i]==T[j])\\ & max\{LC{S}_{i?1,j},LC{S}_{i,j?1}\}(S[i]!=T[j])\end{array}$$
若$S[i]=y$，
則根據$LCS$的轉移式，
$LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1$
又$\because LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i],P)+1$
$\therefore LCS(S[1,i?1],P)=LCS(S[1,i],P)$
$\therefore LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i],P)+1?LCS(S[1,i?1],P)=LCS(S[1,i],P)$

我們不妨新設一個狀態$g(i,j)$，表示在$T[1,j]$里找最長的后綴$Q$滿足$LCS(S[1,i?1],T[1,j])=LCS(S[1,i],T[1,j])$，$g(i,j)$表示$Q$的起點位置

$\therefore f(i,j)=g(i,j?1)$

若$S[i]!=y$，
則根據$LCS$的轉移式，
$LCS(S[1,i],Py)=max\{LCS(S[1,i?1],Py),LCS(S[1,i],P)\}$
又$\because LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i],P)+1$
$\therefore LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i],P)+1$
若$LCS(S[1,i],P)=LCS(S[1,i?1],P)+1$，
則$LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+2(舍)$
$\therefore LCS(S[1,i],P)=LCS(S[1,i?1],P)$
$$\therefore LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i],P)+1?\{\begin{array}{rl}& LCS(S[1,i],P)=LCS(S[1,i?1],P)\\ & LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1\end{array}$$
$\therefore f(i,j)=max\{f(i?1,j),g(i,j?1)\}$

再考慮$g(i,j)$的轉移：
設$Q=Py$
若$S[i]=y$，
則根據$LCS$的轉移式，
$LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1$
又$\because LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i],Py)$
$\therefore LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1$
$\therefore LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i],Py)?$
$LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1$
$\therefore g(i,j)=f(i?1,j)$

若$S[i]!=y$，
引理：
$LCS(Ax,By)<=LCS(A,B)+1$
證明：
若$x=y$，
$LCS(Ax,By)=LCS(A,B)+1$，引理顯然成立
若$x!=y$，
$$\because \{\begin{array}{rl}& LCS(A,By)<=LCS(A,B)+1\\ & LCS(Ax,By)<=LCS(A,B)+1\end{array}$$
$\therefore LCS(Ax,By)=max\{LCS(A,By),LCS(Ax,B)\}<=LCS(A,B)+1$

根據$LCS$的轉移式，
$LCS(S[1,i],Py)=max\{LCS(S[1,i?1],Py),LCS(S[1,i],P)\}$

若$LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i?1],P)$，
則$LCS(S[1,i],P)=LCS(S[1,i?1],P)$

若$LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1$，
則根據引理，$LCS(S[1,i],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1$
$\therefore LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i],Py)必成立$

$\therefore LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i],Py)?$
$LCS(S[1,i],P)=LCS(S[1,i?1],P)或LCS(S[1,i?1],Py)=LCS(S[1,i?1],P)+1$
$\therefore g(i,j)=min\{f(i?1,j),g(i,j?1)\}$

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N=5005; const ll mod=998244353; int n,m,s[N],t[N]; int f[N][N],g[N][N],c[N]; ll p[N],ans[N]; int main(){scanf("%d%d",&n,&m);p[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i-1]*233%mod;for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]);for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&t[i]);for(int i=0;i<=m;i++) f[0][i]=i+1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(s[i]==t[j]){f[i][j]=g[i][j-1];g[i][j]=f[i-1][j];}else{f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i][j-1]);g[i][j]=min(f[i-1][j],g[i][j-1]);}} }for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=f[n][i];j<=i;j++) c[j]++;for(int j=1;j<=i;j++) ans[j]=(ans[j]+c[j]*p[i-j]%mod)%mod;}for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[XSY] 宝藏（LCS，DP）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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