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min_25筛

發布時間：2023/12/3 编程问答 30 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 min_25筛小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

用途

設 $f (x)$ 是一個積性函數，min_25篩可以在 $O(n34log?n)O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})$ 內求 $f (x)$ 的前綴和： $∑i=1Nf(i)\sum_{i=1}^{N}f(i)$

使用要求： $f(p),f(p^k)$ 的值可以快速求出 $(p∈Prime)(p\in Prime)$

算法

Step 1：求 $∑i=1n[i∈Prime]f(i)\sum_{i=1}^{n}[i\in Prime]f(i)$

約定 $P$ 表示質數集合， $P_i$ 表示第 $i$ 個質數

首先我們要根據 $f (x)$ 在質數處的點值的表達式構造出 $F (x)$ （有時需要把 $f (x)$ 拆成多個 $F (x)$ ），滿足 $F (x)$ 是一個完全積性函數，并且 $F (x)$ 的和可以迅速轉換成 $f (x)$ 的和

然后設 $g(n,j)=∑i=1nF(i)[i∈Pori的最小質因數>Pj]g(n,j)=\sum_{i=1}^nF(i)[i\in P\ \ or \ \ i的最小質因數>P_j ]$

$∑i=1n[i∈P]F(i)\sum_{i=1}^{n}[i\in P]F(i)$ 即為 $g (n, ∣ P ∣)$ （ $∣ P ∣$ 是 $P$ 集合的大小）

考慮 $g$ 的轉移：

若 $P_j^2>n$ ：
顯然不會產生新的貢獻了，此時有 $g (n, j) = g (n, j ? 1)$

若 $Pj2≤nP_j^2\leq n$ ：
$g(n,j)=g(n,j?1)?∑[i的最小質因數=Pj]F(i)g(n,j)=g(n,j-1)-\sum[i的最小質因數=P_j]F(i)$
$=g(n,j?1)?F(Pj)∑[i的最小質因數=Pj]F(iPj)=g(n,j-1)-F(P_j)\sum[i的最小質因數=P_j]F(\frac{i}{P_j})$
$=g(n,j?1)?F(Pj)∑k=Pj?nPj?[k的最小質因數>Pj?1]F(k)=g(n,j-1)-F(P_j)\sum_{k=P_j}^{\lfloor\frac{n}{P_j}\rfloor}[k的最小質因數>P_{j-1}]F(k)$
$=g(n,j?1)?F(Pj)[g(?nPj?,j?1)?g(Pj?1,j?1)]=g(n,j-1)-F(P_j)[g(\lfloor\frac{n}{P_j}\rfloor,j-1)-g(P_j?1,j?1)]$

關于 $g$ 的初值：

考慮一下 $g$ 的實際含義是什么呢？可以參考一下埃氏篩法的運行過程。

假設現在有 $n$ 個數依次排開，第 $i$ 個數是 $f (i)$ ，根據埃氏篩法的那套理論，每次選出一個質數 $p$ ，然后篩掉所有 $f(k×p)f(k\times p)$ $(k > = 2)$

會發現 $g (n, j)$ 就是運行 $j$ 次埃氏篩法后，沒被篩掉的所有數之和。

這里遞推的起點是 $g (n, 0)$ ， $g (n, 0)$ 的含義是把所有的數字當作質數，然后求 $∑i=1nF(i)\sum_{i=1}^nF(i)$

最后，我們把 $F (x)$ 轉回 $f (x)$ ，
用 $g (n, j)$ 表示 $∑i=1nf(i)[i∈Pori的最小質因數>Pj]\sum_{i=1}^nf(i)[i\in P\ \ or \ \ i的最小質因數>P_j ]$ ，
$∑i=1n[i∈P]f(i)\sum_{i=1}^{n}[i\in P]f(i)$ 即為 $g (n, ∣ P ∣)$

編碼細節：

轉移

g

只需用到

N\sqrt N

以內的質數，先線性篩預處理出這些質數

g

只需要開第一維

題目中的

N

往往很大，

n

直接枚舉的話會炸掉。所以要預處理一個集合

S={?Nx?∣x∈[1,N]}S=\{\lfloor\frac{N}{x}\rfloor|x\in[1,N]\}

，集合

S

的大小

∣S∣=2N|S|=2\sqrt N

。遞推式中，

?nPj?\lfloor\frac{n}{P_j}\rfloor

一定

∈S\in S

，因為

Pj≤NP_j\leq \sqrt N

，，而所有

≤N\leq\sqrt N

的數都可以通過

?Nx?\lfloor\frac{N}{x}\rfloor

得到，所以

Pj?1∈SP_j-1\in S

。在具體實現時，先把

S

離散化一下，調用

g

的第一維時，直接枚舉離散化后

S

中各元素的編號。

Step 2：求最終答案

設 $S(n,j)=∑i=1nf(i)[i的最小質因數>=Pj]S(n,j)=\sum_{i=1}^{n}f(i)[i的最小質因數>=P_j]$

最終答案即為 $S (n, 1) + f (1)$

考慮 $S$ 的轉移：

算1~n中質數的貢獻：
$S(n,j)+=g(n,j)?∑i=1j?1f(Pi)S(n,j)+=g(n,j)?\sum_{i=1}^{j?1}f(P_i)$
（ $∑i=1j?1f(Pi)=g(Pj?1,j?1)\sum_{i=1}^{j?1}f(P_i)=g(P_{j-1},j-1)$ ）

算1~n中合數的貢獻：
$S(n,j)+=∑k=jPk2≤n∑e=1Pke+1≤nS(nPke,k+1)×f(Pke)+f(Pke+1)S(n,j)+=\sum_{k=j}^{P_k^2\leq n}\sum_{e=1}^{P_k^{e+1}\leq n}S(\frac{n}{P_k^e},k+1)\times f(P_k^e)+f(P_k^{e+1})$
（枚舉合數的最小質因數及其最小質因數的指數）

邊界條件：
$if(n<=1||P_j>n)\ return\ 0;$

編碼細節：

同上，

g

的第一維用離散化后

S

中各元素的編號表示

參考博客：
https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9185144.html
https://blog.csdn.net/baiyifeifei/article/details/90454317
https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html
https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的min_25筛的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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用途

算法

Step 1：求∑i=1n[i∈Prime]f(i)\sum_{i=1}^{n}[i\in Prime]f(i)∑i=1n?[i∈Prime]f(i)

Step 2：求最終答案

總結

Step 1：求 $∑i=1n[i∈Prime]f(i)\sum_{i=1}^{n}[i\in Prime]f(i)$