CSA49G
XSY3315
因為判斷兩串是否本質不同只看某幾項是不是好數，與究竟是哪個好數無關，所以考慮轉換一下題意：
給出一個長度為$a_k$的01串$S$，第$a_1,a_2,...,a_k$項為1，其余項為0。
現要用若干個$S$的前綴拼出串$T$，使得$T$中有$n$個1，以1結尾，并且任意兩個1之間0的個數不超過$m$。問所有不同的$T$的長度之和為多少？

$S$如果用01串表示，會很長，發現$k$很小，考慮換一種表示方式：設$b_i=a_i?a_{i?1}$。我們把$S$串描述成$\{b_1,b_2,b_3,...,b_k\}$，表示$S$由 $(b_1?1)$個0,1個1,$(b_2?1)$個0,1個1,…,$(b_k?1)$個0,1個1 拼接而成。

設$g(x,i)$表示目前有$x$個1，以 $(b_i?1)$個0+1個1 結尾的01串個數，
$f(x,i)$表示目前有$x$個1，以 $(b_i?1)$個0+1個1 結尾的01串長度之和。
可以列出dp式：

$$g(x,i)=\{\begin{array}{l}g(x?1,i?1)i>1\\ {\sum }_{j=1}^{k}g(x?1,j)\times (m?a[1]+1)i=1\end{array}$$

$$f(x,i)=\{\begin{array}{l}f(x?1,i?1)+(a[i]?a[i?1])\times g(x?1,i?1)i>1\\ {\sum }_{j=1}^{k}f(x?1,j)\times (m?a[1]+1)+g(x?1,j)\times \frac{(a[1]+m)(m?a[1]+1)}{2}i=1\end{array}$$

把式子用矩陣快速冪優化一下，復雜度是$O(k^{3}logn)$
（ps.因為$f$的轉移同時與$f,g$有關，所以通過矩乘轉移的過程有點特殊，具體可以看代碼。）

然而還有一個小小的問題：
假設$a=\{2,6,7,9,13\}$，
那么$S[1?13]=0100011010001$，$S[1?6]=010001$，$S[1?7]=0100011$。
我們發現$S[1?7]+S[1?6]=S[1?13]$，即若$S[1?y]$是$S[1?x]$的后綴，則$S[1?x]$可以由$S[1?y]$,$S[1?(x?y)]$拼成。但仔細看上面的dp式就會發現$S[1?7]+S[1?6]$和$S[1?13]$被算成了兩個串。怎么辦？暴力預處理一下，對于前綴$S[1?x]$，若有前綴$S[1?y]$同時是$S[1?x]$的后綴，則前綴$S[1?x]$不能取。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod=1e9+7; const int K=110; int kk,m,n,a[K],pd[K][K],flag[K],ans; struct Matrix{int n,m,g[K][K],f[K][K];//g:個數 f:長度和 Matrix(int x=0,int y=0){memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));n=x,m=y;}friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){Matrix res(a.n,b.m);for(int i=1;i<=a.n;i++){for(int j=1;j<=b.m;j++){__int128 g=0,f=0;for(int k=1;k<=a.m;k++){g+=1ll*a.g[i][k]*b.g[k][j];f+=1ll*a.f[i][k]*b.g[k][j]+1ll*a.g[i][k]*b.f[k][j];}res.g[i][j]=int(g%mod);res.f[i][j]=int(f%mod);}}return res;} }; int Sum(ll x,ll y){return (x+y)*(y-x+1)/2%mod; } int main(){scanf("%d%d%d",&kk,&m,&n);for(int i=1;i<=kk;i++) scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+kk+1);pd[1][1]=1;for(int i=2;i<=kk;i++){int fl=0;for(int j=2;j<=i;j++){if(pd[i-1][j-1]==1) fl=1;if(pd[i-1][j-1]==1&&(a[j]-a[j-1])==(a[i]-a[i-1])) pd[i][j]=1;}if(a[1]<=a[i]-a[i-1]&&fl) pd[i][1]=1;for(int j=1;j<i;j++)if(pd[i][j]==1) flag[i]=1;}Matrix A(kk,kk),res(1,kk);for(int i=1;i<=kk;i++){if(flag[i]==0){A.g[i][1]=max(m-a[1]+1,0);A.f[i][1]=max(Sum(a[1],m),0);} }for(int i=1;i<kk;i++){if(a[i+1]-a[i]<=m){A.g[i][i+1]=1;A.f[i][i+1]=a[i+1]-a[i];}}res.g[1][1]=max(m-a[1]+1,0);res.f[1][1]=max(Sum(a[1],m),0);int b=n-1;while(b){if(b&1) res=res*A;b>>=1;A=A*A;}for(int i=1;i<=kk;i++){if(flag[i]==0) ans=(ans+res.f[1][i])%mod;}printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CSA49G][XSY3315] Bunny on Number Line （DP）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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