XSY3343

先考慮如何判定一個填好的序列會不會gg：
若$?p,q,使s^{\prime }[p+1]=t^{\prime }[q+1]=?1$且${\sum }_{i=1}^p{s}^{\prime }[i]+{\sum }_{j=1}^q{t}^{\prime }[j]\le 0$，則這個序列必gg。

那么我們只需找到$su{m}_{s^{\prime }}=mi{n}_{s^{\prime }[p+1]=?1}\{{\sum }_{i=1}^p{s}^{\prime }[i]\}$，$su{m}_{t^{\prime }}=mi{n}_{t^{\prime }[q+1]=?1}\{{\sum }_{j=1}^q{t}^{\prime }[j]\}$，判斷$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}$是否$\le 0$即可判斷序列會不會gg。

為了方便，我們稍微轉換一下條件，把$s^{\prime }[p+1],t^{\prime }[q+1]$也納入$su{m}_{s^{\prime }},su{m}_{t^{\prime }}$中，即定義：
$$su{m}_{s^{\prime }}=mi{n}_{s^{\prime }[p]=?1}\{\sum _{i=1}^p{s}^{\prime }[i]\}$$
特別地，若$s^{\prime }[]$全為1，$su{m}_{s^{\prime }}={\sum }_{i=1}^{|s^{\prime }|}{s}^{\prime }[i]$
$$su{m}_{t^{\prime }}=mi{n}_{t^{\prime }[q]=?1}\{\sum _{i=1}^q{t}^{\prime }[i]\}$$
特別地，若$t^{\prime }[]$全為1，$su{m}_{t^{\prime }}={\sum }_{i=1}^{|t^{\prime }|}{t}^{\prime }[i]$

那么如果$s^{\prime }[],t^{\prime }[]$都不全為1，
有若$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}\le ?2$，則序列必gg。
也即若$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}\ge ?1$，序列一定不會gg。

否則，若$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}\ge 0$，序列一定不會gg。

然后考慮DP，正著DP很困難，考慮倒著DP，這樣每次只會增加一個小前綴。

設$f_{i,j,k}$表示填完$[i,n]$，這些位置相對于$i$的前綴和中，以$?1$結尾的最小前綴和$=j$的方案數，$k$表示$j$是否等于總和

如果$i?1$位可以填$1$，那么有$f_{i,j,0}\to f_{i?1,j+1,0},f_{i,j,1}\to f_{i?1,j+1,1}$，因為在最前面加一個$1$并不改變原來的最小前綴和

如果$i?1$位可以填$?1$，那么有$f_{i,j,0}\to f_{i?1,\min (?1,j?1),0},f_{i,j,1}\to f_{i?1,\min (?1,j?1),[j\le 0]}$，因為增加了一個值為$?1$的前綴和，所以原來$j>0$且最小前綴和$=j$的方案會變為最小前綴和$=?1=j?1$

對兩個序列分別DP后直接統計答案即可

總結：
倒著DP 和 對$s^{\prime },t^{\prime }$兩個序列分別DP 這兩點太巧妙了%%%

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[XSY3343] 程序锁（DP）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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