知識點

dfs樹

對一個圖運行 dfs 算法，每個點$u$的父親定義為第一次遍歷$u$時的前驅結點，若無則為根。
無向圖的 dfs樹 沒有橫叉邊。
有向圖的 dfs樹 橫叉邊方向唯一，總是從后訪問的點指向先訪問的點。
dfs樹詳解

tarjan

點雙

定義：

不存在割點的圖。

性質：

兩點一線型點雙，較為特殊，以下在討論特定性質時可能不納入考慮范圍。

點雙的dfs樹上，根只有一個兒子，除葉子和根外每個點都有回邊跨過。

表述1：點雙（兩點一線型除外）中任意兩點至少包含在一個簡單環(huán)內。
表述2：點雙（兩點一線型除外）中任意兩點間都存在至少兩條簡單路徑，并且這兩條路徑不經過相同的點。
表述3：點雙（兩點一線型除外）中任意兩條邊至少包含在一個簡單環(huán)內。

對于點雙中任意兩點$u,v$，若點$p$在點雙中，則一定存在$u?p?v$的簡單路徑；若點$p$不在點雙中，則一定不存在$u?p?v$的簡單路徑。
（對于點雙中的任意一對點，連接它們的簡單路徑所經過點的并集一定就是這個點雙本身。）

對于點雙中任意兩點$u,v$，若邊$p$在點雙中，則一定存在$u?p?v$的簡單路徑。

若點雙中有奇環(huán)，由3.4.得任意兩點間的簡單路徑有偶數(shù)長度和奇數(shù)長度的，所以點雙里的所有邊和點都在奇環(huán)上。

一個有割點的無向圖可以由若干個點雙組成，點雙間以割點相連接，兩相鄰的點雙之間的公共點一定是唯一的，且一定是割點。

無向圖中的每個割點至少屬于兩個點雙，其余點和每條邊都只屬于一個點雙。

點雙連通分量一定是邊雙連通分量（兩點一線型除外），反之不一定。

圓方樹

圓方樹是根據點雙把無向圖縮點所形成的樹。
我們把每一個點雙縮成一個 “方點”，把原有的點稱作 “圓點”。然后我們把原圖的邊全部刪除，讓每個點向其所屬的點雙的 “方點” 連邊。
顯然，一個割點會向多個方點連邊，而由此，除了根節(jié)點以外，所有的非割點都是葉子節(jié)點。 我們也知道，圓點和圓點之間不會互相連邊，方點和方點之間也不會互相連邊。

（第一個是原圖，第三個是原圖對應的圓方樹）

應用：

• 處理有關簡單路徑的問題
• 處理有關圖的連通性的問題
• %%%大佬的Blog

邊雙

定義：

不存在橋的圖。

性質：

邊雙的dfs樹上，每條樹邊都有回邊跨過。

表述1：邊雙中任意一條邊都包含在至少一個簡單環(huán)中。
表述2：邊雙中任意兩點間都存在至少兩條簡單路徑，并且這兩條路徑不經過相同的邊。

不是點雙的邊雙可以由點雙組成。

（由兩個點雙組成的邊雙）

在一個有割邊的無向圖中，把每一個邊雙縮成一個點，然后這些點之間由原來的割邊相連形成了一棵樹。

無向圖中兩點一線型點雙的邊其實就是割邊，割邊不屬于任何邊雙，而其它非割邊的邊都屬于且僅屬于一個邊雙。

小小總結：

點雙和邊雙都是 由一些簡單環(huán)組成的無向連通圖，
不嚴謹?shù)卣f，點雙是"邊的集合"，邊雙是"點的集合"。
圖上的簡單路徑問題，一般用圓方樹（點雙）解決。

強連通分量

定義：

若有向圖$G$滿足：圖中任意兩點$u,v$間都存在從$u$到$v$的有向路徑和從$v$到$u$的有向路徑，則稱$G$是一個強連通圖。有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量。

性質：

在強連通圖中，每個點的入度和出度一定都不為0。

把有向圖中的每個強連通分量縮成一個點，將得到一個$DAG$(有向無環(huán)圖)。

Kosaraju 算法

SAT & 2-SAT

入門講解
入門講解

題目

POJ2942 Knights of the Round Table

題意：判斷每個點是否能在奇環(huán)內。

題解：若點在一個奇環(huán)內，則這個環(huán)一定在點所在的點雙內，而點雙中只要存在一個奇環(huán)，點雙中的所有點都可以在奇環(huán)上。奇環(huán)的判斷：二分圖染色后，只要有一個點和它的相鄰節(jié)點的顏色相同，就找到了奇環(huán)。

Code

AGC038D Unique Path

%%%zjr學長

摘自此Blog

XSY3273 graph

題意：有一個無向圖，它沒有重邊和自環(huán)。現(xiàn)在有一些詢問，形如“$u,v$之間是否存在一條長度為奇數(shù)的簡單路徑？” 這里簡單路徑定義為不經過重復的點的路徑。

題解：首先建出dfs樹，然后判斷$u,v$間的樹上路徑長度是否為奇數(shù)
不是奇數(shù)的話考慮原圖的圓方樹，因為任意兩點間的簡單路徑都可以拆分成經過的點雙，所以就有以下結論：
對于樹上距離為偶數(shù)的$u,v$，它們之間存在長度為奇數(shù)的簡單路徑當且僅當它們的樹上路徑經過了至少一條在奇環(huán)上的邊
所以只需要求樹上路徑是否經過這樣的邊，每找到一個奇環(huán)，這個奇環(huán)所在的點雙所包含的邊都是滿足要求的邊，tarjan預處理即可

Code

HDU2767 Proving Equivalences

如果這個圖本身就是強連通的，不用加任何邊。
否則把每個強連通分量縮成一個點，得到一個$DAG$。記$in[i]$為點$i$的入度，$out[i]$為點$i$的出度，那么$DAG$上的點可以分為以下四類：

$in[i]>0,out[i]>0$

$in[i]=0,out[i]>0$

$in[i]>0,out[i]=0$

$in[i]=0,out[i]=0$

貪心策略：第3類點向第2,4類點連邊，第4類點再向第2類點連邊
所以令$DAG$變?yōu)閺娺B通，加的最少邊數(shù)為$max(入度為0的點數(shù),出度為0的點數(shù))$

POJ3177 Redundant Paths G

題解：
把邊雙縮成點。
$tarjan$縮點后圖變成樹，首先特判樹中點數(shù)$n\le 2$的情況。
考慮$n>2$的情況，答案為$?\frac{cn{t}_{leaf}+1}{2}?$。
構造具體方案時，以任意度大于$1$的點為根，只需要保證任意兩個葉子連邊后與根成環(huán)，
當奇數(shù)個葉子時，可以將一個葉子與根相連，又轉換成了偶數(shù)葉子情況。

具體構造：
$tarjan$縮點后圖變成樹，選擇度數(shù)大于$1$的點為根，按照$dfs$序存下所有葉子，$leaf[i]$表示按$dfs$序排序后的第$i$個葉子，共$g$個葉子。
將$leaf[i]$與$leaf[i+?\frac{g}{2}?]$連邊，($i\le ?\frac{g+1}{2}?$)。

構造方法證明：
見2020牛客多校第三場C

CF1000E We Need More Bosses

“必須經過的邊”就是$s$到$t$路徑上的割邊，把無向圖中的邊雙縮成點，得到一棵樹，求樹的直徑即可。

Code

CF1137C Museums Tour

$d\le 50$

摘自此Blog

Code

CF1220E Tourism

在邊雙內走，一定能回到原點，故把邊雙縮成點。

然后就是樹形DP：
$f[cur]$代表走到$cur$子樹還能回的貢獻，$g[cur]$代表走到$cur$子樹回不來的貢獻，題目所求即為$g[s]$。

先考慮$f$的轉移， 如果子節(jié)點能回來：$f[cur]+=f[to]$
然后$g[cur]=max(g[to])+f[cur]$（走完所有可以返回的兒子再找個最大的不能返回的）

這樣有一個問題，如果$f[cur]<g[cur]$，結點$cur$是否要返回
于是再：$g[cur]=max(g[cur],f[cur]?f[to]+g[to])$
摘自此Blog

Code

CF732F Tourist Reform

Blog

Code

POJ3694 Network

題意：在線查詢一個無向圖加入一條邊后減少了多少條橋。
題解：先將所有的邊雙縮點，得到一顆樹。初始時橋數(shù)即為樹的邊數(shù)，樹邊邊權皆為1。
每次詢問加入邊$(x,y)$，設$c[i]$表示點$i$所在邊雙。
若$c[x]==c[y]$，無影響。
否則，減去的橋數(shù)為樹上$c[x]$到$c[y]$的路徑上邊權的和，然后把該路徑上樹邊的邊權全部改為0。

[HNOI2012]礦場搭建

摘自此Blog

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论复习——dfs树,点双,边双,强连通分量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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