參考博客：最小割淺談

關于最小割

常用描述
表述一：刪去若干條邊使得源點到匯點不連通，求刪邊的權值和的最小可能值。
表述二：將點集分為$(S,T)$，記所有從$S$中出發到$T$中的邊的權值和為$c(S,T)$，求$c(S,T)$的最小值。

求最小割
a. 以權值為容量，該網絡最大流的值即為最小割的值
b. 在殘量網絡中，從源點出發進行一次增廣BFS，即得到一個分割。該分割是一個最小割。

題型1：對求最小割原理的理解

[AHOI2009]最小割

摘自此Blog

[SDOI2014]LIS

摘自此Blog

#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> #define re register #define maxn 1505 #define LL long long #define inf 999999999 inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;} inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} inline int read() {char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x; } struct node{int a,b,c,rk;}g[maxn]; inline int cmp(node A,node B) {return A.c<B.c;} struct E{int v,nxt,w,f;}e[maxn*maxn]; int n,num=1,S,T,Test; int ans[maxn],cnt,id[maxn],vis[maxn]; int d[maxn],dp[maxn],head[maxn],cur[maxn],in[maxn],out[maxn]; inline void add(int x,int y,int z) {e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;e[num].w=z;} inline void C(int x,int y,int z) {add(x,y,z),add(y,x,0);} inline int check(int s,int t) {std::queue<int> q;memset(vis,0,sizeof(vis));q.push(s);vis[s]=1;while(!q.empty()){int k=q.front();q.pop();if(k==t) return 1;for(re int i=head[k];i;i=e[i].nxt)if(!vis[e[i].v]&&e[i].w>e[i].f) q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;}return 0; } inline int BFS(int s,int t) {std::queue<int> q;memcpy(cur,head,sizeof(head));memset(d,0,sizeof(d));d[s]=1,q.push(s);while(!q.empty()){int k=q.front();q.pop();for(re int i=head[k];i;i=e[i].nxt)if(!d[e[i].v]&&e[i].w>e[i].f) {d[e[i].v]=d[k]+1;if(e[i].v==t) return 1;q.push(e[i].v);}}return d[t]; } int dfs(int x,int now,int t) {if(x==t||!now) return now;int flow=0,ff;for(re int& i=cur[x];i;i=e[i].nxt)if(d[e[i].v]==d[x]+1){ff=dfs(e[i].v,min(now,e[i].w-e[i].f),t);if(ff<=0) continue;now-=ff,flow+=ff;e[i].f+=ff,e[i^1].f-=ff;if(!now) break;}return flow; } int main() {Test=read();while(Test--){n=read();cnt=0;num=1;memset(head,0,sizeof(head));for(re int i=1;i<=n;i++) g[i].a=read(),dp[i]=1;for(re int i=1;i<=n;i++) g[i].b=read(),g[i].rk=i;for(re int i=1;i<=n;i++)for(re int j=1;j<i;j++) if(g[j].a<g[i].a) dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);int tot=0;for(re int i=1;i<=n;i++) tot=max(tot,dp[i]);//dp求LIS T=0;for(re int i=1;i<=n;i++) in[i]=++T;for(re int i=1;i<=n;i++) out[i]=++T;++T;for(re int i=1;i<=n;i++) C(in[i],out[i],g[i].b),id[i]=num;for(re int i=1;i<=n;i++) if(dp[i]==1) C(S,in[i],inf);for(re int i=1;i<=n;i++) if(dp[i]==tot) C(out[i],T,inf);for(re int i=1;i<=n;i++)for(re int j=1;j<i;j++) if(g[j].a<g[i].a&&dp[j]+1==dp[i]) C(out[j],in[i],inf);tot=0;while(BFS(S,T)) tot+=dfs(S,inf,T);//建圖+跑最小割 for(re int i=1;i<=n;i++) g[i].c=read();printf("%d ",tot);std::sort(g+1,g+n+1,cmp);for(re int i=1;i<=n;i++){int k=g[i].rk;if(check(in[k],out[k])) continue;ans[++cnt]=k;while(BFS(T,out[k])) dfs(T,inf,out[k]);while(BFS(in[k],S)) dfs(in[k],inf,S);e[id[k]].w=e[id[k]^1].w=0;e[id[k]].f=e[id[k]^1].f=0;//退流，排除和當前所選邊等價的邊的影響 }printf("%d\n",cnt);std::sort(ans+1,ans+cnt+1);for(re int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d ",ans[i]);putchar(10);}return 0; }

題型2：最下生成樹相關

例題這里有

題型3：對點的分割 轉 對邊的分割

[HNOI2013] 切糕

題型4：最小點割集

最小點割集是指：
給出一張有向圖（無向圖）和兩個點S、T，每個點都有一個正數點權，求一個不包含點S、T的權值和最小的點集使得刪掉點集中的所有點后，S無法到達T。

求法：
對于這個問題，我們將每一個點拆成兩個點，一個為入點，一個為出點，這兩個點之間有一條邊權為原圖中點權的有向邊，從入點指向出點。對于原圖中的邊$x\to y$，我們將其更改為x的出點$\to y$的入點。在轉化完的圖上跑最小割就是原圖的最小點割集。

題型5：最小割樹——求任意兩點的最小割

最小割樹

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m,node[505],dep[505],fa[505][10],mn[505][10]; int cnt,top[505],to[1005],len[1005],nex[1005]; int read() {int re=0;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) ch=getchar();while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();return re; } void add_edge(int x,int y,int z) {to[++cnt]=y,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;to[++cnt]=x,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt; } namespace GHT {int s,t;int tot,cur[505],dep[505],col[505],col_bucket[505];int cnt=1,top[505],to[3005],cap[3005],flow[3005],nex[3005];void add_edge(int x,int y,int z){to[++cnt]=y,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;to[++cnt]=x,cap[cnt]=z,flow[cnt]=0,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;//注意這里 }bool BFS(){memset(cur,0,sizeof cur);memset(dep,0,sizeof dep);dep[s]=1,cur[s]=top[s];queue<int>Q;Q.push(s);while(!Q.empty()){int now=Q.front();Q.pop();for(int i=top[now];i;i=nex[i])if(!dep[to[i]]&&cap[i]>flow[i]){dep[to[i]]=dep[now]+1;cur[to[i]]=top[to[i]];Q.push(to[i]);}}return dep[t]!=0;}int DFS(int now,int rest){if(now==t) return rest;int re=0;for(int &i=cur[now];i;i=nex[i])if(dep[to[i]]==dep[now]+1&&cap[i]>flow[i]){int lzq=DFS(to[i],min(rest,cap[i]-flow[i]));if(lzq){rest-=lzq,re+=lzq;flow[i]+=lzq,flow[i^1]-=lzq;//注意這里 if(!rest) break;}}return re;}int Dinic(int x,int y){int re=0;s=x,t=y;for(int i=1;i<=cnt;i++) flow[i]=0;while(BFS()) re+=DFS(s,0x3f3f3f3f);return re;}void get_color(int now,int color){col[now]=color;for(int i=top[now];i;i=nex[i])if(cap[i]>flow[i]&&col[to[i]]!=color)//注意這里 get_color(to[i],color);}void build(int l,int r){if(l==r) return ;int x=node[l],y=node[l+1];int cut=Dinic(x,y);get_color(x,++tot);int L=l,R=r;for(int i=l;i<=r;i++)if(col[node[i]]==tot) col_bucket[L++]=node[i];else col_bucket[R--]=node[i];for(int i=l;i<=r;i++) node[i]=col_bucket[i];::add_edge(x,y,cut);build(l,L-1);build(R+1,r);} } void dfs(int now) {for(int i=1;i<=9;i++){fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];mn[now][i]=min(mn[now][i-1],mn[fa[now][i-1]][i-1]);}for(int i=top[now];i;i=nex[i]){if(to[i]==fa[now][0]) continue;dep[to[i]]=dep[now]+1,fa[to[i]][0]=now,mn[to[i]][0]=len[i];dfs(to[i]);} } int getcut(int x,int y) {int re=INT_MAX;if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);for(int i=9;i>=0;i--) if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) re=min(re,mn[x][i]),x=fa[x][i];if(x==y) return re;for(int i=9;i>=0;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) re=min(re,min(mn[x][i],mn[y][i])),x=fa[x][i],y=fa[y][i];return min(re,min(mn[x][0],mn[y][0])); } int main() {n=read(),m=read();while(m--){int x=read(),y=read(),z=read();GHT::add_edge(x,y,z);}for(int i=1;i<=n;i++) node[i]=i;GHT::build(1,n);dep[1]=1;dfs(1);m=read();while(m--){int x=read(),y=read();printf("%d\n",getcut(x,y));}return 0; }

題型6：最大權閉合子圖

閉合子圖指的是，對于有向圖，我們選擇一些點，在這個點集之中，沒有一個點的出邊指向非此點集中的點，但是可以有其他點的出邊指向這個點集之中。所說的最大權閉合子圖，就是在這個圖的所有閉合子圖中點權和最大的。

求法：
建立源點，向每一個點權為正的點連邊，邊權為該點的權值。建立匯點，向每一個點權為負連邊，邊權為該點的權值的絕對值。原圖中的邊進行保留，邊權為$inf$。最大權閉合子圖就是所有的點權為正的點權和減去最小割。

題型7：劃分點集

記$(u\to v,w)$為一條從$u$到$v$，權值為$w$的邊。

基礎模型

把$n$個點劃分到兩個集合$A,B$。給出若干形如 “若…，則有…的代價/貢獻” 的條件。問最大貢獻/最小代價是多少。

如果題目問的是最小代價，直接按下面方法連邊求最小割。
如果題目問的是最大貢獻，答案為$\sum 所有可能貢獻?最小代價(最小割)$。

定義和$S$相連的點劃到$A$集合，和$T$相連的點劃到$B$集合，那么我們可以按下面的方法處理題目給出的條件：

條件-表述1：若把$i$劃到$A$，則要付出$b_i$的代價；若把$i$劃到$B$，則要付出$a_i$的代價
條件-表述2：若把$i$劃到$B$，則有$b_i$的貢獻；若把$i$劃到$A$,則有$a_i$的貢獻
方案：$(i\to T,b_i)$,$(S\to i,a_i)$

條件-表述1：若點集$X$中有元素劃到$B$，則要付出$c$的代價
條件-表述2：若點集$X$中元素全部劃到$A$，則有$c$的貢獻
方案：$(S\to new,c),?i\in X(new\to i,inf)$

條件-表述1：若點集$X$中有元素劃到$A$，則要付出$d$的代價
條件-表述2：若點集$X$中元素全部劃到$B$，則有$d$的貢獻
方案：$?i\in X(i\to new,inf),(new\to T,d)$

條件：若點集$X$中有元素劃到$B$，點集$Y$中有元素劃到$A$，則要付出$e$的代價
常見形式：若點$i$劃到$B$，點$j$劃到$A$，則要付出$e$的代價
方案：$?i\in X(new1\to i,inf)$,$?j\in Y(j\to new2,inf)$,$(new2\to new1,e)$

條件：若點集$X$中有元素劃到$A$，點集$Y$中有元素劃到$B$，則要付出$f$的代價
常見形式：若點$i$劃到$A$，點$j$劃到$B$，則要付出$f$的代價
方案：$?i\in X(i\to new1,inf)$,$?j\in Y(new2\to j,inf)$,$(new1\to new2,f)$

[Shoi2007]Vote 善意的投票

BZOJ3438: 小M的作物

[BZOJ3218]a + b Problem

處理變形問題的trick：黑白染色，翻轉源匯

對于“$x,y$必須劃到不同集合” “$x,y$劃到不同集合有$c$的貢獻” “$x,y$劃到相同集合有$d$的代價”這樣的條件，我們可以連邊$(x,y)$，黑白染色后$x,y$一定一個是黑點，一個是白點。

如果將其中一種顏色的點進行翻轉源匯，即原本應該連向$S$的邊連向$T$，原本應該連向$T$的邊連向$S$，那么“$x,y$在不同集合”就變成了“$x,y$在相同集合”，“$x,y$在相同集合”就變成了“$x,y$在不同集合”

BZOJ1324Exca王者之劍&BZOJ1475方格取數——二分圖最大獨立集

[BZOJ2132]圈地計劃——翻轉源匯

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小割小记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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