定義

• 差分算子$\Delta$：$\Delta f(x)=f(x+1)?f(x)$
• 平移算子$E$：$Ef(x)=f(x+1)$
• 下降冪：$n>0,\{\begin{array}{l}{x}^{\underline{n}}=x(x?1)(x?2)...(x?n+1)\\ x^{\underline{?n}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)}\end{array}$
• 上升冪：$n>0,\{\begin{array}{l}{x}^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)...(x+n?1)\\ x^{\overline{?n}}=\frac{1}{(x?1)(x?2)(x?3)...(x?n)}\end{array}$
• 階乘冪(下降冪和上升冪的統(tǒng)稱)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：

$x^{\underline{a+b}}=x^{\underline{a}}(x?a{)}^{\underline{b}}$

$x^{\overline{a+b}}=x^{\overline{a}}(x+a{)}^{\overline{b}}$

$x^{\underline{n}}=(?1{)}^n(?x{)}^{\overline{n}}$

$x^{\overline{n}}=(?1{)}^n(?x{)}^{\underline{n}}$

$x^{\underline{k}}(x?\frac{1}{2}{)}^{\underline{k}}=\frac{(2x{)}^{\underline{2k}}}{2^{2k}}$
證明：$$\begin{gathered} x^{\underline{k}}(x?\frac{1}{2}{)}^{\underline{k}} \\ =x(x?\frac{1}{2})(x?1)(x?1?\frac{1}{2})...(x?k+1)(x?k+1?\frac{1}{2}) \\ =2^{?2k}\times 2x(2x?1)(2x?2)(2x?3)...(2x?2k+2)(2x?2k+1) \\ =\frac{(2x{)}^{\underline{2k}}}{2^{2k}} \end{gathered}$$

當(dāng) $n$ 是自然數(shù)時(shí)，有
$(x+y{)}^{\underline{n}}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^{\underline{i}}{y}^{\underline{n?i}}$
$(x+y{)}^{\overline{n}}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^{\overline{i}}{y}^{\overline{n?i}}$

有限微積分

• $\Delta (x^{\underline{m}})=m{x}^{\underline{m?1}}$ （類比求導(dǎo)）

• ${\sum }_{i=0}^{n?1}{i}^{\underline{k}}=\frac{n^{\underline{k+1}}}{k+1}$ （類比經(jīng)典積分$\int x^k=\frac{x^{k+1}}{k+1}$）
  特例：經(jīng)典積分中$k=?1$時(shí)有特例$\int \frac{1}{x}=\ln x$，這里也有${\sum }_{i=0}^{n?1}{i}^{\underline{?1}}={\sum }_{i=0}^{n?1}\frac{1}{i+1}={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}$
  （調(diào)和級(jí)數(shù)：${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{1}{i}$）

• $\Delta (2^x)=2^x$ （類比$(e^x)\prime =e^x$）

• 乘法法則：$\Delta (uv)=u?\Delta v+Ev?\Delta u$

• 分部積分法則：$\sum u?\Delta v=uv?\sum Ev?\Delta u$

總結(jié)

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