勢能線段樹

線段樹能夠通過打懶標記實現區間修改的條件有兩個：

能夠快速處理懶標記對區間詢問結果的影響

能夠快速實現懶標記的合并

但有的區間修改不滿足上面兩個條件（如區間整除/開方/取模等）。
但某些修改存在一些奇妙的性質，使得序列每個元素被修改的次數有一個上限。

所以可以在線段樹每個節點上記錄一個值，表示對應區間內是否每個元素都達到修改次數上限。區間修改時暴力遞歸到葉子節點，如果途中遇到一個節點，這個節點的對應區間內每個元素都達到修改次數上限則在這個節點$return$掉。

可以證明復雜度為 $O((n+m\log n)\times lim)$，其中$n$為序列長度，$m$為詢問次數，$lim$為修改次數上限。

LOJ6029——線段樹區間除法

對于每個區間維護區間內的 最大值$Max$ 和 最小值$Min$，對于整除操作，如果有$Max??\frac{Max}{d}?=Min??\frac{Min}{d}?$，就轉化為區間減。否則直接向下遞歸。

考慮何時滿足$Max??\frac{Max}{d}?=Min??\frac{Min}{d}?$：
設$Max=k_{1}d+c_1,Min=k_{2}d+c_2(c_1,c_2\in [0,d?1],d\ge 2)$
$Max??\frac{Max}{d}?=Min??\frac{Min}{d}?$
$Max?Min=?\frac{Max}{d}???\frac{Min}{d}?$
$(k_1?k_2)d+c_1?c_2=k_1?k_2$
$(k_1?k_2)(d?1)=c_2?c_1$
$若k_1=k_2,則c_2=c_1,所以Max=Min$
$若k_1>k_2,則(k_1?k_2)(d?1)\ge d?1,又因為c_2?c_1\le d?1,所以當且僅當Max=k_{1}d,Min=(k_1?1)d+d?1時成立$

所以一個區間最多暴力向下遞歸${\log }_2(Max?Min)$次。記勢能函數$?(T)$為線段樹$T$每一個節點$\log (Max?Min)$的和，每一次修改操作會影響$O(\log n)$個節點的$Max?Min$值，讓$?(T)$增加$\log n\log A$，其中$A$為值域。因此總時間復雜度為$O(n\log A+m\log n\log A)$。

UOJ228——線段樹區間開根

同上，對于每個區間維護區間內的 最大值$Max$ 和 最小值$Min$，對于開根操作，如果有$Max??\sqrt{Max}?=Min??\sqrt{Min}?$，就轉化為區間減。否則直接向下遞歸。

考慮何時滿足$Max??\sqrt{Max}?=Min??\sqrt{Min}?$：
設$Max=k_1^2+c_1,Min=k_2^2+c_2(c_1\in [0,2k_1];c_2\in [0,2k_2];k_1,k_2\ge 1)$
$Max??\sqrt{Max}?=Min??\sqrt{Min}?$
$k_1^2+c_1?k_1=k_2^2+c_2?k_2$
$k_1^2?k_2^2?(k_1?k_2)=c_2?c_1$
$(k_1+k_2?1)(k_1?k_2)=c_2?c_1$
$若k_1=k_2,則c_2=c_1,所以Max=Min$
$若k_1>k_2,則(k_1+k_2?1)(k_1?k_2)\ge k_1+k_2?1\ge 2k_2,又因為c_2?c_1\le 2k_2,所以當且僅當Max=k_1^2,Min=(k_1?1{)}^2+2(k_1?1)=k_1^2?1時成立$

開根后，區間極差由$Max?Min$變為$\sqrt{Max}?\sqrt{Min}$，又由$\frac{Max?Min}{\sqrt{Max}?\sqrt{Min}}=\sqrt{Max}+\sqrt{Min}>\sqrt{Max}?\sqrt{Min}$知$\sqrt{Max?Min}>\sqrt{Max}?\sqrt{Min}$。

所以一個區間最多暴力向下遞歸 $\log \log (Max?Min)$ 次，總時間復雜度為$O(n\log \log A+m\log n\log \log A)$，其中$A$為值域。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int inf=1e9+7; const int N=1e5+10; ll mx[N<<2],mn[N<<2],sum[N<<2],tag[N<<2],a[N]; int n,q; ll Sqr(ll x){return sqrt(x); } void build(int u,int l,int r){tag[u]=0;if(l==r){mx[u]=mn[u]=sum[u]=a[l];return;}int mid=(l+r)>>1;build(u<<1,l,mid);build(u<<1|1,mid+1,r);mx[u]=max(mx[u<<1],mx[u<<1|1]);mn[u]=min(mn[u<<1],mn[u<<1|1]);sum[u]=sum[u<<1]+sum[u<<1|1]; } void pushdown(int u,int l,int r){if(tag[u]!=0){int mid=(l+r)>>1;mx[u<<1]+=tag[u];mn[u<<1]+=tag[u];sum[u<<1]+=tag[u]*(mid-l+1);tag[u<<1]+=tag[u];mx[u<<1|1]+=tag[u];mn[u<<1|1]+=tag[u];sum[u<<1|1]+=tag[u]*(r-mid);tag[u<<1|1]+=tag[u];tag[u]=0;} } void add(int u,int l,int r,int a,int b,ll x){if(a<=l&&r<=b){mx[u]+=x;mn[u]+=x;sum[u]+=x*(r-l+1);tag[u]+=x;return;}pushdown(u,l,r);int mid=(l+r)>>1;if(a<=mid) add(u<<1,l,mid,a,b,x);if(b>mid) add(u<<1|1,mid+1,r,a,b,x);mx[u]=max(mx[u<<1],mx[u<<1|1]);mn[u]=min(mn[u<<1],mn[u<<1|1]);sum[u]=sum[u<<1]+sum[u<<1|1]; } void sqr(int u,int l,int r,int a,int b){if(a<=l&&r<=b&&mx[u]-Sqr(mx[u])==mn[u]-Sqr(mn[u])){ll x=mx[u]-Sqr(mx[u]);mx[u]-=x;mn[u]-=x;sum[u]-=x*(r-l+1);tag[u]-=x;return;}pushdown(u,l,r);int mid=(l+r)>>1;if(a<=mid) sqr(u<<1,l,mid,a,b);if(b>mid) sqr(u<<1|1,mid+1,r,a,b);mx[u]=max(mx[u<<1],mx[u<<1|1]);mn[u]=min(mn[u<<1],mn[u<<1|1]);sum[u]=sum[u<<1]+sum[u<<1|1]; } ll Sum(int u,int l,int r,int a,int b){if(a<=l&&r<=b) return sum[u];pushdown(u,l,r);int mid=(l+r)>>1;ll res=0;if(a<=mid) res=res+Sum(u<<1,l,mid,a,b);if(b>mid) res=res+Sum(u<<1|1,mid+1,r,a,b);return res; } int main(){scanf("%d%d",&n,&q);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);build(1,1,n);int opt,l,r;ll x;while(q--){scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);if(opt==1){scanf("%lld",&x);add(1,1,n,l,r,x);}else if(opt==2){sqr(1,1,n,l,r);}else if(opt==3){printf("%lld\n",Sum(1,1,n,l,r));}}return 0; }

CF438D——線段樹區間取模

對于每個區間維護區間內的 最大值$Max$，對于整除操作，如果有$Max<mod$，就直接忽略。否則暴力向下遞歸。
可以證明，對于一個數$x$，最多取模$\log x$次就會令其變為1：

• 若$mod>\frac{x}{2}$，那么$x\%mod=x?mod<\frac{x}{2}$
• 若$mod=\frac{x}{2}$，那么$x\%mod=0$
• 若$mod<\frac{x}{2}$，那么$x\%mod<mod<\frac{x}{2}$

總時間復雜度為$(n\log A+m\log n\log A)$，其中$A$為值域。

CF920F——線段樹區間取約數個數

設$D(x)$表示$x$的約數個數。
發現$D(x)$有以下性質：

若$x\le 2$，$D(x)=x$

$D(x)\le 2\sqrt{x}$

那么一個數$x$的修改次數上限為$\log \log x$。
套用上面的方法即可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的势能线段树（均摊分析）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。