倉庫建設

luogu 2120

題目大意

有一個斜坡，上面有n個工廠（山頂是1，山腳是$n$，工廠都是漏填），上面有$p_i$個貨物，和工廠1的距離為$x_1$
現在有一場大雨，你可以在某些工廠處建立倉庫（費用是$c_i$），沒有建立倉庫的工廠要把貨物運到更低的倉庫（及編號越大的倉庫），運費是貨物數$?$距離
現在問你全部貨物運到倉庫中最少需要多少錢

輸入樣例

3 0 5 10 5 3 100 9 6 10

輸出樣例

32

樣例說明

在工廠 1 和工廠 3 建立倉庫，建立費用為 $10+10=20$ ，運輸費用為 $(9?5)\times 3=12$，總費用 32。

數據范圍

對于 $20\%$ 的數據，保證 $n\le 500$。
對于 $40\%$ 的數據，保證 $n\le 10^4$ 。
對于 $100\%$ 的數據，保證 $1\le n\le 10^6$ ，$0\le x_i,p_i,c_i<2^{31}$ 。
對于任意的 $1\le i<n$，保證 $x_i<x_{i+1}。$
設答案為 $ans$，保證 $ans+{\sum }_{i=1}^n{p}_i{x}_i<2^{63}$ 。

解題思路

我們設$f_i$為在$i$處建倉庫，前$i$個工廠的貨物全部運到倉庫的最小費用（這里把$p$改為$s$，把$x$改為$v$）
我們就可以得出轉移方程
$$\begin{array}{rl}{f}_i& =\min \{f_j+c_i+\sum _{k=j+1}^{i?1}(v_i?v_k)s_k\}\\ & =\min \{f_j+c_i+\sum _{k=j+1}^i(v_i?v_k)s_k\}\\ & =\min \{f_j+c_i+\sum _{k=j+1}^i{v}_i{s}_k?\sum _{k=j+1}^i{v}_k{s}_k\}\\ & =\min \{f_j+c_i+(sum{s}_i?sum{s}_j)v_i?(v{s}_i?v{s}_j)\}\end{array}$$
注：
第二行加了$i$這一項，但因為$v_i?v_i=0$所以結果不變
第四行$v{s}_i={\sum }_{j=1}^i{v}_i{s}_i$
若現在有兩個決策點$a,b$滿足$a>b,a$優于$b$
則：
$$f_a+c_i+(sum{s}_i?sum{s}_a)v_i?(v{s}_i?v{s}_a)<f_b+c_i+(sum{s}_i?sum{s}_b)v_i?(v{s}_i?v{s}_b)$$
$$f_a+c_i+sum{s}_i{v}_i?sum{s}_a{v}_i?v{s}_i+v{s}_a<f_b+c_i+sum{s}_i{v}_i?sum{s}_b{v}_i?v{s}_i+v{s}_b$$
$$f_a?sum{s}_a{v}_i+v{s}_a<f_b?sum{s}_b{v}_i+v{s}_b$$
$$(f_a+v{s}_a)?(f_b+v{s}_b)<sum{s}_a{v}_i?sum{s}_b{v}_i$$
$$(f_a+v{s}_a)?(f_b+v{s}_b)<sum{s}_a{v}_i?sum{s}_b{v}_i$$
$$((f_a+v{s}_a)?(f_b+v{s}_b))/(sum{s}_a?sum{s}_b)<v_i$$
我們設
$y_i=f_i+v{s}_a$
$x_i=sum{s}_i$
則
$(y_a?y_b)/(x_a?x_b)<v_i$
然后按照斜率優化模板套即可

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll n, l, r, v[1000050], s[1000050], c[1000050], d[1000050], y[1000050], f[1000050], vs[1000050]; int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; ++i){scanf("%d%d%d", &v[i], &s[i], &c[i]);vs[i] = vs[i - 1] + v[i] * s[i];s[i] += s[i - 1];//s沒用，就直接弄成前綴和}for (int i = 1; i <= n; ++i){while(r > l && (y[d[l + 1]] - y[d[l]]) < v[i] * (s[d[l + 1]] - s[d[l]])) l++;//模板f[i] = f[d[l]] + c[i] + (s[i] - s[d[l]]) * v[i] - (vs[i] - vs[d[l]]);y[i] = f[i] + vs[i];while(r > l && (y[i] - y[d[r]])*(s[d[r]] - s[d[r-1]]) < (y[d[r]] - y[d[r-1]])*(s[i] - s[d[r]])) r--;d[++r] = i;}printf("%d", f[n]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【斜率优化】仓库建设（luogu 2120）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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