【模板】靜態仙人掌

題目大意

給你一個無向仙人掌圖（保證每條邊至多出現在一個簡單回路中的無向圖），問你兩個點之間的最短路距離

輸入樣例#1

9 10 2 1 2 1 1 4 1 3 4 1 2 3 1 3 7 1 7 8 2 7 9 2 1 5 3 1 6 4 5 6 1 1 9 5 7

輸出樣例#1

5 6

輸入樣例#2

9 10 3 1 2 1 2 3 1 2 4 4 3 4 2 4 5 1 5 6 1 6 7 2 7 8 2 8 9 4 5 9 2 1 9 5 8 3 4

輸出樣例#2

7 5 2

樣例解釋：

樣例1中的仙人掌是這個樣子的：

詢問有兩個，分別是詢問 1$\to$ 9和 5$\to$ 7的最短路
顯然答案分別為 5 和 6。

數據范圍：

$1\le n,q\le 10000$
$1\le m\le 20000$
$1\le w\le 10^5$
請注意時限為 $300\text{ms}$

解題思路

我們把該圖轉化為圓方樹
建樹規則：
1：對于不在環里面的邊，我們保留不變
2：對于環，我們建一個方點（黃色的點），連接這個該環上所有點，邊權為為所有點到$dfs$序最小的點的距離（如圖）
搜索的時候，我們記錄下某個點的$dfs$序，以及從這個點出發走到的點中$dfs$序最小的點的$dfs$序（父親邊除外）
當我們搜到某個點時，枚舉到某條邊（如圖紅色的邊），若該邊指向的點已經搜過，且父親節點不是該點，且dfs序大于該點，那么我們搜到了一個環，且這個環中$dfs$序最小的點就是該點
$dfs$序大于該點，很顯然是該點出發搜索到的點
且與該點相連，那么肯定是一個環了
從該點出發，一邊是從該點搜索到的點，且dfs序逐漸變大，$dfs$序大于該點，另一邊是紅色邊的點，$dfs$序也大于該點
那么該點就是該環所有點中$dfs$序最小的點

我們像這樣建樹
然后得到了一棵圓方數
對于樹上兩點的最短距離
就是兩點到$lca$的距離
若$lca$不是方點，但經過方點，那經過該環的距離就是走到$dfs$序最小的點最短的距離，也就是從該環中某個圓點到方點再到$dfs$序最小的點的距離，所以沒有影響

對于$lca$是方點的，我們先計算到該環某個圓點的距離，然后求到對方點的最小距離即可（就是兩個方向距離的$min$）

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll n, m, w, x, y, z, q, X, Y, ex, ans, tot, tott, b[100010], fa[200010], dep[200010], dis[200010], sum[200010], dfn[200010], low[200010], h[200010], head[200010], f[200010][20]; struct rec {ll to, l, next; }e[2000010], a[2000010]; int read()//快讀 {char x=getchar();int d=1,l=0;while (x<'0'||x>'9') {if (x=='-') d=-1;x=getchar();}while (x>='0'&&x<='9') l=(l<<3)+(l<<1)+x-48,x=getchar();return l*d; } void writ(int c) {if (c>9) writ(c/10); putchar(c%10+48); return;} void write(int s) {s<0?putchar(45),writ(-s):writ(s); putchar(10); return;} void add(ll x, ll y, ll z)//加圓方樹的邊 {a[++tot].to = y;a[tot].l = z;a[tot].next = head[x];head[x] = tot;a[++tot].to = x;a[tot].l = z;a[tot].next = head[y];head[y] = tot; } void addd(ll x, ll y, ll z)//加原圖的邊 {e[++tott].to = y;e[tott].l = z;e[tott].next = h[x];h[x] = tott;e[++tott].to = x;e[tott].l = z;e[tott].next = h[y];h[y] = tott; } void jh(ll x, ll y, ll z)//對于環，建圓方樹 {++ex;ll pt = y, ss = z;while(pt != fa[x])//求從x到所有點走反邊的距離（紅色邊的方向）{sum[pt] = ss;ss += b[pt];//求和pt = fa[pt];}sum[ex] = sum[x];sum[x] = 0;pt = y;ss = 0;while(pt != fa[x]){ss = min(sum[pt], sum[ex] - sum[pt]);//走兩條邊中最短的add(pt, ex, ss);//加邊pt = fa[pt];} } void dfs(ll x) {dfn[x] = low[x] = ++w;for (int i = h[x]; i; i = e[i].next)if (e[i].to != fa[x]) {ll v = e[i].to;if (!dfn[v])//沒走過{fa[v] = x;b[v] = e[i].l;//記錄dfs(v);low[x] = min(low[x], low[v]);//記錄由該點走出去的點中dfs序最小的}else low[x] = min(low[x], dfn[v]);//到過了，要不就是走回了變if (low[v] > dfn[x]) add(x, v, e[i].l);}for (int i = h[x]; i; i = e[i].next)if ( dfn[e[i].to] > dfn[x] && fa[e[i].to] != x)jh(x, e[i].to, e[i].l); } void dfs1(int x) {dep[x] = dep[f[x][0]] + 1;for (int j = 1; j <= 16; ++j)f[x][j] = f[f[x][j - 1]][j - 1];//倍增for (int i = head[x]; i; i = a[i].next)if (a[i].to != f[x][0]){f[a[i].to][0] = x;if (dis[a[i].to]) dis[a[i].to] = min(dis[a[i].to], dis[x] + a[i].l);else dis[a[i].to] = dis[x] + a[i].l;dfs1(a[i].to);} } ll lca(ll x, ll y) {if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);//求lcafor (int i = 16; i >= 0; --i)if (dep[f[x][i]] >= dep[y]) x = f[x][i];for (int i = 16; i >= 0; --i)if (f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i];X = x;//若兩點不是祖先關系，那會停留在前一個點Y = y;return x == y?x:f[x][0]; } int main() {n = read();m = read();q = read();ex = n;for (int i = 1; i <= m; ++i){x = read();y = read();z = read();addd(x, y, z);}dfs(1);f[1][0] = 1;dfs1(1);for (int i = 1; i <= q; ++i){x = read();y = read();z = lca(x, y);if (z <= n) ans = dis[x] + dis[y] - dis[z] - dis[z];//lca是圓點else{ans = dis[x] - dis[X] + dis[y] - dis[Y]; //到環上兩圓點的距離if (sum[X] > sum[Y]) swap(X, Y);ans += min(sum[Y] - sum[X], sum[z] - sum[Y] + sum[X]);//環的兩個方向}write(ans);}return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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