生成樹計數

luogu 2109

題目大意

有n個排成一列的點，把距離不超過k的點之間連邊，問這個圖的生成樹個數

輸入樣例

3 5

輸出樣例

75

樣例說明

樣例對應的圖如下：

數據范圍

解題思路

因為n十分大，不能直接2^m暴力枚舉（m為總邊數）
k十分小，可以從k入手
考慮到對某個點有貢獻的只有前k個點
我們可以設狀態表示前k個點的連接情況（即那幾個點連在了一起）
狀態如果直接用k位數表示肯定不行
考慮除掉無用狀態
對于著k個數，如果前面有和它相連的點，那么這個點的數值等于和它相連的點的數值，如果沒有，則它的數值等于前k個數中最大數值+1
例如：
k=5，1和3相連，2和5相連
則表示出來的狀態為12132
$s_1=++w$
$s_2=++w$
$s_3=s_1$
$s_4=++w$
$s_5=s_2$
得出狀態后，我們輸出總裝臺數，k=5時竟只有52種！
用一個數組給各個狀態存一下新的編號（52種中的第幾種）
然后考慮狀態之間的轉移
對于所有用的狀態，$2^k$枚舉第$k+1$個點和$k$個點是否連邊
使其滿足以下條件
1.不連成環（即數值相同的點最多連一個，不然會形成環）
2.保證第1個點要和$2～k+1$個點中的一個相連（要么和$k+1$相連，要么和$2～k$個點中某個點的數值相等）
得出狀態后通過前面的計算方法，把新狀態的編號求出來，然后在矩陣中連起來
得到轉移矩陣后，就可以用矩陣乘法快速得出n個點的結果了

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define wyc 65521 using namespace std; ll n, k, w, ww, s[10], ss[10], fa[10], p[100000]; struct matrix {ll n, m, a[100][100];matrix operator *(const matrix &b) const{matrix c;c.n = n;c.m = b.m;for (int i = 1; i <= c.n; ++i)for (int j = 1; j <= c.m; ++j)c.a[i][j] = 0;for (int i = 1; i <= c.n; ++i)for (int k = 1; k <= m; ++k)for (int j = 1; j <= c.m; ++j)c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j] % wyc) % wyc;return c;} }A, B; void dfs1(ll x, ll y, ll z) {if (x > k){p[z] = ++w;//新編號ll num = 1, g = 0;for (int i = 1; i <= k; ++i){g = 1;for (int j = 1; j <= s[i] - 2; ++j)//題目說明中n個點的完全圖生成樹個數為n^(n-2)g = g * s[i];num = num * g;//各種種數相乘}A.a[1][w] = num;//計入初始矩陣return;}for (int i = 1; i <= y; ++i){s[i]++;//這個數值的數+1dfs1(x + 1, y, z * 10 + i);//和前面已有的點相連s[i]--;}s[y + 1]++;//新的數值dfs1(x + 1, y + 1, z * 10 + y + 1);//不相連s[y + 1]--;return; } ll find(ll x) {return x == fa[x]?x:find(fa[x]);//并查集 } void pp(ll x, ll y) {if (x > k){ll num = 0, ww = 0;memset(ss, 0, sizeof(ss));for (int i = 2; i <= k + 1; ++i){ll g = find(i);if (!ss[g]) ss[g] = ++ww;//沒有相連的就新加一個數值num = num * 10 + ss[g];//用十進制存起來}if (ss[find(1)]) B.a[p[y]][p[num]]++;//第一個數有被加到，那就連接狀態return;}ll g = find(k + 1), gg = find(x);if (gg != g)//暫未相連{fa[g] = gg;//連接pp(x + 1, y);fa[g] = g;//沒有路徑壓縮所以可拆邊}pp(x + 1, y);//不練的情況return; } void dfs2(ll x, ll y, ll z) {if (x > k){memset(ss, 0, sizeof(ss));for (int i = 1; i <= k; ++i){if (!ss[s[i]]) ss[s[i]] = i;//找到相連的點中的第一個點，以這個點為父節點，ss和上面重復利用fa[i] = ss[s[i]];}fa[k + 1] = k + 1;pp(1, z);return;}for (int i = 1; i <= y; ++i)//再找一次有效狀態{s[x] = i;dfs2(x + 1, y, z * 10 + i);s[x] = 0;}s[x] = y + 1;dfs2(x + 1, y + 1, z * 10 + y + 1);s[x] = 0;return; } void Counting(ll x)//快速冪 {while(x){if (x&1) A = A * B;B = B * B;x>>=1;}return; } int main() {scanf("%lld%lld", &k, &n);dfs1(1, 0, 0);//得出編號dfs2(1, 0, 0);//連接狀態A.n = 1;A.m = B.n = B.m = w;Counting(n - k);//初始狀態已經是前k個printf("%lld", A.a[1][1]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【矩阵乘法】生成树计数（luogu 2109/NOI 2007）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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