正題

P3172

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題目大意

在 [L,R] 選n個數，問gcd=k的方案數

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解題思路

因為gcd=k，那么所選的數都是k的倍數，那么可以讓L,R整除k，那么有

$$\sum _{a_1=L}^R\sum _{a_2=L}^R...\sum _{a_n=L}^R[gcd(a_1,a_2...a_n)=1]$$

$$\sum _{a_1=l}^r\sum _{a_2=l}^r...\sum _{a_n=l}^r\sum _{d|a_1,d|a_2...d|a_n}\mu (d)$$

$$\sum _{d=1}^n\mu (d)(\frac{r}{d}?\frac{l?1}{d}{)}^n$$

然后可以整除分塊，$\mu$ 用杜教篩求

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code

#include<map> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define N 2000210 #define mod 1000000007 using namespace std; ll n,k,L,R,w,ans,mu[N],p[N],prime[N]; map<ll,ll>smu; const ll MX=2e6; void work() {mu[1]=1;for(ll i=2;i<=MX;++i){if(!p[i]){mu[i]=-1;prime[++w]=i;}for(ll j=1;j<=w&&i*prime[j]<=MX;++j){p[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0)break;mu[i*prime[j]]=-mu[i];}}for(ll i=2;i<=MX;++i)mu[i]+=mu[i-1];return; } ll S(ll n) {if(n<=MX)return mu[n];if(smu.find(n)!=smu.end())return smu[n];ll g=1;for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);g-=S(n/l)*(r-l+1);}smu[n]=g;return g; } ll ksm(ll x,ll y) {ll z=1;while(y){if(y&1)z=z*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return z; } int main() {work();scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&L,&R);L=(L+k-1)/k-1;R/=k;for(ll l=1,r;l<=R;l=r+1){if(L/l)r=min(L/(L/l),R/(R/l));else r=R/(R/l);(ans+=(S(r)-S(l-1))*ksm(R/l-L/l,n)%mod+mod)%=mod;}printf("%lld",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数论】【杜教筛】选数（P3172）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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