正題

P4767

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題目大意

給出坐標軸上的n個點，讓你選擇m個點作為特殊點，使所有點到最近特殊點的距離之和最小

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解題思路

考慮對于一個區間選擇一個特殊點的最小代價，可以把所有點到當前點的路徑分割開來，即每段距離走的次數為1,2,3…l-1,l,r,r-1…3,2,1，其中連接l,r的就是選擇的特殊點，顯然讓l,r相同代價最小，那么取中間點即可

在構造時可以看作是構造等腰三角形（高度為走的次數），那么每次往mid-r中加一次即可

然后考慮DP

設 $f_{i,j}$ 為前 i 個點中選擇 j 個特殊點的最小貢獻，那么沒到一個狀態考慮從哪個點開始重新構建一個新區間（這個區間的最短距離都是到新的一個特殊點），那么時間復雜度 $O(n^{2}m)$

考慮用四邊形不等式優化（筆者寫的不好，若看不懂可以到洛谷看題解qaq）

設 dis 為區間最小代價，sum 為路徑長度

令 $mid=\frac{b+a+1}{2}$

若 $2|(b?(a+1))$

$$\begin{array}{rl}di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}& =di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}\\ & =su{m}_{a,mid}+di{s}_{a+1,b}+di{s}_{a+1,b}+su{m}_{mid,b+1}\\ & =di{s}_{a+1,b}+su{m}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\\ & =di{s}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\end{array}$$

若 $2?(b?(a+1))$

$$\begin{array}{rl}di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}& =di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}\\ & =su{m}_{a,mid}+di{s}_{a+1,b}+di{s}_{a+1,b}+su{m}_{mid+1,b+1}\\ & \ge di{s}_{a+1,b}+su{m}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\\ & =di{s}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\end{array}$$

綜上，該轉移滿足四邊形不等式

然后可以用二維的決策單調性優化轉移

時間復雜度 $O(nm)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define N 3010 using namespace std; int n,m,a[N],f[N][N],d[N][N],dis[N][N]; int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;++i){dis[i][i]=0;for(int j=i+1;j<=n;++j)dis[i][j]=dis[i][j-1]+a[j]-a[i+j>>1];}memset(f,127/3,sizeof(f));f[0][0]=0;for(int j=1;j<=m;++j){d[n+1][j]=n;for(int i=n;i>0;--i)for(int k=d[i][j-1];k<=d[i+1][j];++k)if(f[k][j-1]+dis[k+1][i]<f[i][j])f[i][j]=f[k][j-1]+dis[k+1][i],d[i][j]=k;}printf("%d",f[n][m]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【DP】【四边形不等式】邮局（P4767）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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