目錄

• • 序言
  • 一.常數項級數
  • • 概念
    • • • 1. 什么是常數項無窮級數？
        • 2. 級數的收斂性與和
    • 兩個特別的級數
    • 級數的判別方法
    • • • ①常數項級數判別法
        • ②正項級數的審斂準則
        • ③變號級數的審斂準則
        • ④絕對收斂
  • 二.函數項級數
  • • 概念
    • • • 1. 什么是函數項級數？
        • 2. 函數項級數處處收斂與和函數
    • 一致收斂
    • • • 1. 函數項級數一致收斂
        • 2. 函數項級數一致收斂判別準則
        • 3. 函數項級數一致收性質
  • 三.冪級數
  • • 概念
    • • • 什么是冪級數?
    • 收斂半徑
    • • • 1.什么是收斂半徑?
        • 2.求收斂半徑
    • 冪級數性質
    • • • 1.代數運算性質
        • 2.和函數的性質
    • 常見麥克勞林級數
  • 四.傅里葉級數
  • • 三角函數的正交性
    • • • 1.三角函數系
        • 2.正交性
    • Dirichlet定理與條件
    • 傅里葉級數展開
    • • • 1.定義在$[?l,l]$上函數的Fourier展開
        • 2.定義在$[0,l]$上函數的Fourier展開
  • 總結

序言

2020/3/26，老師留了個作業：總結無窮這幾周學的無窮級數。由于字太丑所以用一些特別的方式來總結一下吧。

來一個有趣的例子：
$0.9<1$
$0.99<1$
$0.999<1$
$0.99999<1$
$0.99999?=1$
這是我小學就知道的東西，現在到了大學終于明白為什么$0.99999?=1$
這里是知乎網友證明$0.999?=1$的過程

再來一個更貼切點兒點的例子：
我：小明，咱倆那么好的哥們，我未來會給你一個億
小明：好呀好呀！什么時候給我？
我：未來
小明：未來是什么時候?
我：以后再說
其實我可以到無窮多年之后再給小明這筆巨款，所以小明什么時候能得到？無窮年后？那么他真的會得到這筆巨款嗎？哈哈聰明的你可能想到小明根本得不到這筆巨款。 這就我所理解的無窮。

一.常數項級數

概念

1. 什么是常數項無窮級數？

$a_1+a_2+?+a_n+?$，或${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$稱為常數項無窮級數，簡稱常數項級數或級數，$a_n$稱為該級數的通項

2. 級數的收斂性與和

$$S_n=a_1+a_2+?+a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$
上述式子稱為級數的部分和。若部分和數列{$S_n$}收斂，則稱級數收斂，并稱
$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k$$為他們的和，記作${\sum }_{n=1}^{n\to \infty }{a}_n=S$；否則稱級數發散，級數的收斂與發散成為斂散性收斂級數的和與其部分和之差$R_n=S?S_n={\sum }_{k=n+1}^{\infty }{a}_k$稱為該級數的余項

兩個特別的級數

等比級數
$$\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+?+a{q}^{n?1}+?(a=0)$$
$|q|<1$，等比級數收斂；當$|q|\ge 1$，等比級數發散

調和級數
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+?+\frac{1}{n}+?$$
為什么叫做調和級數？調和級數發散
?

級數的判別方法

①常數項級數判別法

• 定義判別法
• Cauchy收斂原理
  
  每次都有柯西，但是我發現做題很少用柯西的東西

②正項級數的審斂準則

• 正項級數${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$收斂的充要條件是它的部分和數列有上界
• 比較準則$Ⅰ$

• 比較準則$Ⅱ$
  

• 積分準則
  

• D’Alembert準則
  

• Cauchy準則
  

• 對數判別法
  

③變號級數的審斂準則

• Leibniz準則
  

④絕對收斂

• 絕對收斂準則
  若級數${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$收斂，則級數${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$收斂
• 絕對收斂性質
  $Ⅰ$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$絕對收斂，則任意交換它的各項順序后所得的新級數也絕對收斂，且其和不變；
  $Ⅱ$若級數${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$和${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$都絕對收斂，其和分別為$A$與$B$，則級數${\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n(c_n=a_1{b}_n+a_2{b}_{n?1}+?+a_n{b}_1)$也絕對收斂且其和等于$AB$。

二.函數項級數

概念

1. 什么是函數項級數？

設{$u_n$}是定義在同一集合$A?R$上由無窮多項組成的一列函數（稱為函數列）將他們各項依次用加號聯結起來所得到的表達式 $$u_1+u_2+?+u_n+?或\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$
稱為集合A上的函數項級數，$u_n$稱為它的通項，前$n$項之和 $S_n={\sum }_{k=1}^n{u}_k$稱為它的部分和

2. 函數項級數處處收斂與和函數

設$x_0\in A$，將$x_0$代入函數項級數，它就變成一個常數項級數
$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+?+u_n(x_0)+?$$
若該級數收斂，則稱$x_0$為函數項級數的收斂點，由收斂點全體構成的集合$D$稱為該級數的收斂域。若$x_0$不是收斂點，則稱它為該級數的發散點，由發散點的全體所構成的集合稱為該級數的發散域。設$D$為級數的收斂域，則$?x\in D$，級數都收斂，稱該級數的這種收斂在$D$上處處收斂（或逐點收斂）。此時，稱由$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x),x\in D$$定義的函數$S$：$D$->$R$為級數的和函數，簡稱和。
若級數在$D$上處處收斂，則$$S(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{u}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)$$
因此，在$D$上級數的和函數就是其部分和$S_n(x)$的極限，與常數項類似，也稱
$$R_n(x)=S(x)?S_n(x)=\sum _{k=n+1}^{\infty }{u}_k(x)$$為改級數的余項并且 ${\lim }_{n\to \infty }{R}_n(x)=0(x\in D)$

一致收斂

1. 函數項級數一致收斂

若存在一個函數$S$：$D\to R$，滿足
$?\epsilon >0$，$?N(\epsilon )\in N_{+}$，當 $n>N(\epsilon )$時，$?x\in D$，恒有$|S(x)?S_n(x)|$，稱級數在$D$ 上一致收斂于$S$

2. 函數項級數一致收斂判別準則

• Cauchy一致收斂原理
  
• Weierstrass 準則
  

3. 函數項級數一致收性質

• 和函數的連續性
  

• 和函數的可積性
  

• 和函數的可導性
  

三.冪級數

概念

什么是冪級數?

形如
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?+a_n{x}^n+?$$
或者
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x?x_0{)}^n=a_0+a_1(x?x_0)+a_2(x?x_0{)}^2+?+a_n(x?x_0{)}^n+?$$的函數項級數稱為冪級數

收斂半徑

1.什么是收斂半徑?

收斂半徑r是一個非負的實數或無窮大，使得在 $|z?a|<R$時冪級數收斂，在 $|z?a|>R$時冪級數發散。

2.求收斂半徑

• 比值求法
  設有冪級數${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，若$a_n=0$，并且${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$存在或為$+\infty$則它的收斂半徑為$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$$

• 根值求法
  設有冪級數${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，若$a_n=0$，并且${\lim }_{n\to \infty }|\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}|$存在或為$+\infty$則它的收斂半徑為$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}|$$

冪級數性質

1.代數運算性質

設冪級數與的收斂半徑分別為$R1$與$R2$，令$R=min(R1,R2)$，則在它們的公共收斂區間$(?R,R)$內，有

2.和函數的性質

• 和函數的可積性
  
• 和函數的可導性

常見麥克勞林級數

• 幾何級數
  $$\frac{1}{1?x}=1+x+x^2+?+x^n+?,|x|<1$$

• 指數函數$e^x$展開式
  $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+?+\frac{x^n}{n!}+?,x\in (?\infty ,+\infty )$$

• 正弦$\sin x$展開式
  $$\sin x=x?\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+(?1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+?,x\in (?\infty ,+\infty )$$

• 余弦函數$\cos x$展開式
  $$\cos x=1?\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+(?1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+?,x\in (?\infty ,+\infty )$$

• 對數函數$\ln (x+1)$展開式
  $$\ln (x+1)=x?\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+(?1{)}^{n?1}\frac{x^n}{n}+?,x\in (?1,1]$$

• 冪函數$(1+x{)}^a$的展開式$(a\in R)$
  $$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a?1)}{2!}{x}^2+?+\frac{a(a?1)?(a?n+1)}{n!}{x}^n+?,x\in (?1,1)$$

四.傅里葉級數

三角函數的正交性

1.三角函數系

{$1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,?,cosnx,sinnx,?$}

2.正交性

Dirichlet定理與條件

傅里葉級數展開

1.定義在$[?l,l]$上函數的Fourier展開

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi x}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi x}{l})$$
其中系數$a_n$和$b_n$可由下面的公式求的

$$\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{?l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2,?)\\ b_n=\frac{1}{l}{\int }_{?l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2,3,?)\end{array}$$

2.定義在$[0,l]$上函數的Fourier展開

• 偶延拓
  如果要求將$f$在$[0,l]$展開成Fourier余弦函數，可采用偶延拓的方式
  $$F(x)=\{\begin{array}{l}f(x),0\le x\le l\\ f(?x),?l\le x<0\end{array}$$
  將$F$在$[?l,l]$上展開成Fourier級數，得
  $$\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2,?)\\ b_n=0(n=1,2,3,?)\end{array}$$
  從而得知
  $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos\frac{n\pi x}{l}$$
  就是$f$在$[0,l]$上的Fourier余弦展開式
• 奇延拓
  如果要求將$f$在$[0,l]$展開成Fourier余弦函數，可采用偶延拓的方式
  $$F(x)=\{\begin{array}{l}f(x),0<x\le l\\ ?f(?x),?l\le x<0\end{array}$$
  將$F$在$[?l,l]$上展開成Fourier級數，得
  $$\{\begin{array}{l}{a}_n=0(n=0,1,2,?)\\ b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2,3,?)\end{array}$$
  從而得知
  $$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sin\frac{n\pi x}{l}$$
  就是$f$在$[0,l]$上的Fourier余弦展開式

總結

學的不咋好，上網課太難專注了，就這樣吧。如有錯誤請指正。
圖片來源于百度百科和工科數學分析電子課本
如果轉載請注明

總結

以上是生活随笔為你收集整理的工科数学分析无穷级数总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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