2020-1024=996
最近太忙了，今天好像沒有寫題，不過研究了一下數學hh。

2020.10.24今天又有工數課，我又沒聽，我記得上節工數課我看了換根dp，哦？好吧我沒聽過工數，那沒事了，不過這次不敢那么水了，看了看書本，分析了一下書上定理的證明，突然感覺還有點意思，不過老師講的時候好像沒那么深入，由此寫下自己的想法，如有錯誤希望指正謝謝。

一.泰勒展開證明

首先說明以下證明并不嚴謹，只是方便自己理解書中的證明過程，如果想要了解研究證明可以考慮看懂下面證明后轉向更專業的書籍。

設函數$f(z)$在區域$D$內解析，$z_0\in D$，圓盤$K:|z?z_0|<R$含于$D$，那么在$K$內，$f(z)$能展開成冪級數
$$f(z)=f(z_0)+\frac{f^{(1)}(z_0)}{1!}+\frac{f^{(2)}(z_0)}{2!}+?+\frac{f^n(z_0)}{n!}+\dots$$ 其中系數$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_c\frac{f(\xi )}{(\xi ?z_0{)}^{n+1}}d\xi =\frac{f^n(z_0)}{n!}$

按照我自己的理解，泰勒展開就是把一個函數用無窮多個非負次冪的多項式去逼近。不難想到我們需要找到一個收斂級數去逼近。

有柯西積分公式得：
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_c\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi$$
上面提到說用一個收斂級數逼近，觀察上述式子發現這個東西$\frac{1}{\xi ?z}$好像能做點工作，于是我們會先聯想到一個級數：
$$\frac{1}{1?a}=1+a+a^2+?+a^n+\dots (|a|<1)$$
注意$|a|<1$上述級數收斂，這里很重要因為在證明洛朗級數時會顯現出不同。
我們下面嘗試對$\frac{1}{\xi ?z}$做點工作，由于$\xi$是圓邊界上的點，而$z$是圓內的點，于是不難得知$|\frac{z?z_0}{\xi ?z_0}|<1$（到圓心的距離之比），由此在$z_0$展開$\frac{1}{\xi ?z}$時嘗試先進行以下步驟
$$\frac{1}{\xi ?z}=\frac{1}{\xi ?z_0?(z?z_0)}=\frac{1}{\xi ?z_0}?\frac{1}{1?\frac{z?z_0}{\xi ?z_0}}$$
注意這里我們湊到$\frac{z?z_0}{\xi ?z_0}$因為$|\frac{z?z_0}{\xi ?z_0}|<1$，滿足上述級數收斂條件。一會可以對比洛朗級數
進一步展開得：
$$\frac{1}{\xi ?z}=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(z?z_0{)}^n}{(\xi ?z_0{)}^{n+1}}$$
將上述得到的展開式子帶入柯西積分公式：
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_c\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c}f(\xi )?\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(z?z_0{)}^n}{(\xi ?z_0{)}^{n+1}}d\xi$$
注意積分變量是$\xi$與$z$無關，并且積分和求和可以換序，由此得
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c}f(\xi )?\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(z?z_0{)}^n}{(\xi ?z_0{)}^{n+1}}d\xi =\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{2\pi i}{\int }_c\frac{f(\xi )}{(\xi ?z_0{)}^{n+1}}d\xi ?(z?z_0{)}^n$$
再由柯西高階導數公式$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_c\frac{f(\xi )}{(\xi ?z{)}^{n+1}}d\xi$可得：

$$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{f_{z_0}^{(n)}}{n!}(z?z_0{)}^n$$
證畢！

二.洛朗級數展開證明

為什么又來個洛朗級數？
自己的理解：首先我們知道泰勒級數展開條件是在一個區域內解析，區域內不能有奇點，那如果有怎么辦？難道就因為這一個破奇點讓我們不能深入理解這個函數？數學家們還是有辦法的，首先想到的是把這個點挖掉，對沒錯！挖掉這個點后整個區域可以用圓環去定義，因此出現了洛朗級數以及收斂圓環的概念，這里不在贅述。

若函數$f(z)$在圓環$H:r<|z?z_0|<R(0\le r<R\le +\infty )$內解析，則$f(z)$在$H$內可以展開成洛朗級數為
$$\sum _{?\infty }^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^n$$ 其中$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_c\frac{f(\xi )}{(\xi ?z_0{)}^{n+1}}d\xi ,(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,)$

先定義兩個圓$${\Gamma }_1:|\xi ?z_0|={\rho }_1,{\Gamma }_2:|\xi ?z_0|={\rho }_2$$
即上圖的粉色圓環和黃色圓環，$f(z)$在黑色圓環和黑色圓環之間解析。
對于圖中圈主$z$的粉色圓環定義成$\Gamma$
由復合閉路定理：
$${\int }_{{\Gamma }_2}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi ={\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi +{\int }_{\Gamma }\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi$$
由此可得：
$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_2}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi ?\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi$$
再由柯西積分公式$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi$得：
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_2}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi ?\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi$$
對于第一項來說由于$z$在圓${\Gamma }_2$內，由此不難得出$|\frac{z?z_0}{\xi ?z_0}|<1$，發現這和上述證明泰勒展開時的情況相同，可以消防證明泰勒展開的方法或者直接由泰勒展開的結論得：
$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_2}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi =\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^n$$
下面我們著重考慮如何展開后面一項$$?\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{z?\xi }d\xi$$
效仿證明泰勒展開不難得知我們需要對$\frac{1}{z?\xi }$做點工作
注意這里點$z$在圓${\Gamma }_1$外，于是我們有$|\frac{\xi ?z_0}{z?z_0}|<1$
，于是嘗試進行下面步驟(強烈建議讀者回看證明泰勒級數時的這一步，注意不同點)
$$\frac{1}{z?\xi }=\frac{1}{z?z_0?(\xi ?z_0)}=\frac{1}{z?z_0}?\frac{1}{1?\frac{\xi ?z_0}{z?z_0}}$$

于是得：
$$\frac{1}{z?\xi }=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(\xi ?z_0{)}^n}{(z?z_0{)}^{n+1}}=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(\xi ?z_0{)}^{n?1}}{(z?z_0{)}^n}=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(z?z_0{)}^{?n}}{(\xi ?z_0{)}^{?n+1}}$$
然后積分變量是$\xi$與$z$無關以及積分求和換序，可得：
$$?\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{\xi ?z}d\xi =\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{(\xi ?z_0{)}^{?n+1}}d\xi ?(z?z_0{)}^{?n}$$
我們讓$c_{?n}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_1}\frac{f(\xi )}{(\xi ?z_0{)}^{?n+1}}d\xi ,(n=1,2,3,\dots ,)$
即可得到：
$$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^n+\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_{?n}(z?z_0{)}^{?n}=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^n$$
證畢！！！

證明完洛朗級數，感覺好像少了一步，泰勒級數可以表示成與n階導數的關系，不過洛朗級數好像沒有這一步，這是因為柯西積分定理的適用范圍，詳細可以自己查閱柯西積分定理。

三.亂語

一寫就寫了兩個小時的博客，這些公式太難打了吧
課本上隨便一個證明都有很多可推敲的地方，不過我又不是數學專業的hhh，這些證明推敲留給數學專業的人去做吧，這也可能是上課老師沒有講的那么清楚的原因吧也可能是我走神沒聽
1024竟然寫了篇數學博客這是我沒想的的hhh

以上證明全是按照博主自己的理解寫出的， 如果有不清晰或者錯誤之處，希望能在評論出指明。

要加油哦~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的泰勒及洛朗展开学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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