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目錄

• • Catalan數證明
  • 卡特蘭數應用

Catalan數證明

1.卡特蘭數遞推式：
$$a_n=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ {\sum }_{i=0}^{n?1}{a}_i\times a_{n?1?i},n>0\end{array}$$
2.卡特蘭數組合數：
$$a_n=C_{2n}^n?C_{2n}^{n?1}$$
證明遞推式

先舉個例子，假如你身上沒有錢，但是你想花錢，你每次可以花一元錢，只要你有錢你可以連續花錢，你父母準備給你n元錢但是每次只給你一元錢，只要還沒給你n元錢就可以一直給，問你有多少種花錢方案？

如下圖，我們令父母給錢代表向右移動一個單位，花錢代表向上一個單位初始在原點（你沒有花錢，你父母也沒有給你錢）最終父母給我們n元錢，我們花掉n元錢。根據實際情況我們可以知道，我們花的錢一定不超過父母給我們的錢。抽象一下現在要求從(0,0)到(n,n)的一條路徑并且路徑上的所有點的縱坐標小于等于橫坐標

求從(0,0)到(n,n)的一條路徑的方案數為：$C_{2n}^n$

如果某條路徑不合法，如上圖黑色路徑，路徑上存在點的縱坐標大于橫坐標，我們找到第一個不符合該條件的點如圖橘黃色的點，該點一定落在$y=x+1$這條直線上，我們將此不合法路徑橘色點的后部分關于$y=x+1$做對稱，如圖黃色部分該終點一定落在$(n?1,n+1)$。因此從求從(0,0)到(n,n)的不合法路徑的方案數可以轉化為從(0,0)到(n-1,n+1)的一條路徑的方案數為：$C_{2n}^{n?1}$

從(0,0)到(n,n)的一條路徑并且路徑上的所有點的縱坐標小于等于橫坐標：$C_{2n}^n?C_{2n}^{n?1}$

卡特蘭數應用

進棧

括號匹配

畫二叉樹

凸多邊形三角劃分

…

總結

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