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目錄

• • • 概念
    • 做法
    • 例題

概念

選擇一個子圖$G^{\prime }=(V^{\prime },E^{\prime })$，其中對于任意一條邊的兩個端點必須在所選的點集中，最大化$\frac{|E^{\prime }|}{|V^{\prime }|}$

做法

利用01分數規劃二分即最大化
$$|E^{\prime }|?g|V^{\prime }|$$
也就是最小化$$g|V^{\prime }|?|E^{\prime }|=\sum _{v\in V^{\prime }}g?\sum _{v\in V^{\prime }}1=\sum _{v\in V^{\prime }}g?\frac{1}{2}(\sum _{v\in V^{\prime }}{d}_v?c[V^{\prime },\overline{V^{\prime }}])=\frac{1}{2}(\sum _{v\in V^{\prime }}(2g?d_v)+c[V^{\prime },\overline{V^{\prime }}])$$
我們發現除了割邊還有一個東西即${\sum }_{v\in V^{\prime }}(2g?d_v)$，只需要將每個點連向匯點一條容量是$2g?d_v$的邊即可讓構建的割的容量是上述式子。因為對于$V^{\prime }$中的點要求與源點$S$放在一起，那么只要它與匯點存在邊就會對割的容量由貢獻。

建圖：原圖中的點與邊的容量都是1，再加上所有點向匯點連邊容量是$2g?d_v$。
那么構建出的網絡流的割的容量$c[S,T]=2(g|V^{\prime }|?|E^{\prime }|)$
于是$$g|V^{\prime }|?|E^{\prime }|=\frac{1}{2}c[S,T]$$
即求最小割。

為了防止連向匯點的邊權$2g?d_v$是負值，需要增添一個偏移量$U$
重新建圖即：①源點向每個點連邊，容量是$U$；②原圖中的邊，容量是1；③每個點向匯點連邊，容量是$$2g?d_v+U$$
可證$$g|V^{\prime }|?|E^{\prime }|=\frac{1}{2}(c[S,T]?nU)$$

最初需要最大化的值即$$|E^{\prime }|?g|V^{\prime }|=\frac{nU?c[S,T]}{2}$$

不難看出如果我們這里把邊看成點，選邊必須選擇兩個端點的限制可以加到邊上即邊向兩個端點連單向邊即可以轉化為最大權閉合圖問題

類型建圖點數建圖邊數

最大密度子圖	|V|	2|V|+|E|
最大權閉合圖	|V|+|E|	|V|+3|E|

如果存在邊權密度：$$\frac{{\sum }_{e\in E}{W}_e}{|V|}$$
$d_v$記為該點出邊權值和而不是出度即可

若存在點權和邊權密度$$\frac{{\sum }_{v\in V}{p}_v+{\sum }_{e\in E}{W}_e}{|V|}$$
①$d_v$記為該點出邊權值和
②連向匯點和源點的邊容量是$2g?d_v?2p_v+U$

例題

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N=5010,M=(50000+2*N)*2+10,INF=0x3f3f3f3f; int n,m; int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx; int S,T,d[N],q[N],cur[N]; int deg[N],p[N]; void add(int a,int b,int c1,int c2) {e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=c1,h[a]=idx++;e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=c2,h[b]=idx++; } bool bfs() {memset(d,-1,sizeof d);int tt=0,hh=0;q[S]=0,cur[S]=h[S],d[S]=0;while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(d[j]==-1&&f[i]){d[j]=d[t]+1;cur[j]=h[j];if(j==T) return 1;q[++tt]=j;}}}return 0; } int dfs(int u=S,int flow=INF) {if(u==T) return flow;int rmn=flow;for(int i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i]){cur[u]=i;int j=e[i];if(d[j]==d[u]+1&&f[i]){int t=dfs(j,min(f[i],rmn));if(!t) d[j]=-1;f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;}}return flow-rmn; } int dinic() {int r=0;while(bfs()) r+=dfs();return r; } int main() {cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);S=0,T=n+1;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i],p[i]*=-1;while(m--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c,c);deg[a]+=c,deg[b]+=c;//記錄出邊權值和}int U=0;for(int i=1;i<=n;i++) U=max(U,2*p[i]+deg[i]);for(int i=1;i<=n;i++) add(S,i,U,0),add(i,T,U-2*p[i]-deg[i],0);cout<<(U*n-dinic())/2<<'\n';return 0; }

總結

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