樹上游戲

給定一棵 $n$ 個節點的樹，點從 $1$ 到 $n$ 編號，點有點權，邊有邊權， $\text{Alice}$ 和 $\text{Bob}$ 兩人在做游戲。

棋子以某一個點 $s$ 為起點，玩家移動該棋子，有以下兩條規則：

移動時不能經過已經走過的邊

能移動則必須移動，不能在可移動時停留在原地

由 $\text{Alice}$ 開始，輪流移動棋子，最終的得分為經過的點權之和減去經過的邊權之和。

$\text{Alice}$ 想要最大化得分， $\text{Bob}$ 想要最小化得分，假設兩人都采取最優策略，那么最終得分是多少呢？

請你對于每個點為起點都輸出一個答案。
$1\le n\le 10^5,|v_i|,|w_i|\le 10^9$

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不難發現當起點確定時可以通過如下樹形dp確定結果：

狀態表示：$f_{u,0/1}$以$u$為起點向子樹中移動，當前該$\text{Alice}/\text{Bob}$最終的值
狀態轉移：
下面${\text{val}}_u$表示$u$的點權，$w_i$表示$u\to v$的邊權

• $\text{Alice}$需要讓結果盡可能大：$f_{u,0}={\max }_{v\in {\text{son}}_u}(f_{v,1}+{\text{val}}_u?w_i)$
• $\text{Bob}$需要讓結果盡可能小：$f_{u,1}={\min }_{v\in {\text{son}}_u}(f_{v,0}+{\text{val}}_u?w_i)$

注意：在葉子節點進行初始化

由于存在換根操作，不難發現只要記錄$f_{u,0}$的最大次大值以及$f_{u,1}$的最小次小值即可從父節點更新子節點實現換根操作。

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注意這種情況：
當前根是$u$，準備換根到$v$，我們需要讓$u$的信息去更新$v$的信息，如果$v$在樹中是葉子節點，需要特殊地將$u$的信息直接賦給$v$而不是更新，因為$v$是葉子節點，在以$u$為根時走到$v$就會停止，而在以$v$為根時，并不會停止并且一定會向$u$移動！！！

還有在第一遍dfs時不能以入度為1的點為根進行dfs，因為這個點在其他點為根的時是葉子節點，某些信息會錯誤更新比如下面數據

5 2147483647 2147483647 2147483647 2147483647 -2147483647 1 2 2147483647 2 3 2147483647 3 4 2147483647 4 5 2147483647

總的來說需要注意葉子節點的信息的更新

#include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; using ll=long long; constexpr int N=100010; constexpr ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; int h[N],e[2*N],ne[2*N],w[2*N],idx; void add(int a,int b,int c){e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;} int val[N],n; ll f[N][2],g[N][2],ans[N];// f[u][0/1]表示u子樹 該A/B移動 int fr[N][2]; int d[N]; bool leaf[N]; void update(int u,int k,int v,ll x)// 更新 最大次大/最小次小 {if(k==0){if(x>f[u][k]) {g[u][k]=f[u][k];f[u][k]=x;fr[u][k]=v;}else if(x>g[u][k]) g[u][k]=x;}else{if(x<f[u][k]){g[u][k]=f[u][k];f[u][k]=x;fr[u][k]=v;}else if(x<g[u][k]) g[u][k]=x;} } void dfs1(int u,int fa) {leaf[u]=1;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa) continue;leaf[u]=0;dfs1(v,u);for(int k=0;k<=1;k++)update(u,k,v,f[v][k^1]+val[u]-w[i]);}if(leaf[u]) f[u][0]=f[u][1]=val[u];//葉子節點初值 } void dfs2(int u,int fa) {ans[u]=f[u][0];for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa) continue;for(int k=0;k<=1;k++){if(leaf[v])//葉子節點特殊處理{if(fr[u][k]==v) f[v][k^1]=g[u][k]+val[v]-w[i];else f[v][k^1]=f[u][k]+val[v]-w[i];}else//換根{if(fr[u][k]==v) update(v,k^1,u,g[u][k]+val[v]-w[i]);elseupdate(v,k^1,u,f[u][k]+val[v]-w[i]);}}dfs2(v,u);} } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);cin>>n;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<=n;i++) cin>>val[i];for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=g[i][0]=-INF,f[i][1]=g[i][1]=INF;for(int i=1;i<n;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c),add(b,a,c);d[a]++,d[b]++;}int rt=1;while(d[rt]==1) rt++;//找一個度數不為1的為根dfs1(rt,0);dfs2(rt,0);for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<'\n'; }

這題我一共寫了4次
第一次：比賽口胡
第二次：賽后寫代碼沒過懶得調了
第三次：2021/01/04剛放寒假重新寫，沒注意葉子的細節一直沒過
第四次：2021/02/25快開學了準備吧收藏夾的題補一補，有看見這個題，造了造特數數據發現了代碼問題，注意到葉子細節成功AC（經歷2.5h）

終于把這題干掉了！！！
要加油哦~

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的OpenJudge1043 树上游戏（换根dp+细节处理）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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