Maze

狀態表示：$f_u$表示在$u$節點走出迷宮期望次數，$d_u$表示度數
首先很容易想到下面式子$$f_u=k_u\times f_1+(1?k_u?e_u)\times \frac{{\sum }_{u\to v}{f}_v+1}{d_u}$$
每個節點有一個類似的式子，也就是$n$個式子，$n$個未知量我們需要求出$f_1$顯然可以高斯消元$O(n^3)$但是看了$1\le n\le 10^4$留下了可惜的淚水~~

之前也做過返回起點的題目，只需要在dp時候多記錄一維信息于是向初中解方程那樣求解即可這樣時間復雜度就能優化到$O(n)$，不過本題在樹上，好像也不可行其實可以

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對于“返回”在樹上是如何體現的？

不難想到返回祖先，而此題中就是返回父親以及返回根節點$1$，于是效仿返回題目的做法，列出下面方程
$$f_u=k_u\times f_1+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\times (f_{fa}+1)+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\times \sum _{v\in so{n}_u}(f_v+1)$$
稍微化簡一下
$$f_u=k_u\times f_1+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\times f_{fa}+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\times \sum _{v\in so{n}_u}{f}_v+(1?k_u?e_u)$$

我們發現所有dp式子都可以寫成
$$f_u=a_u\times f_1+b_u\times f_{fa}+c_u$$

由于$f{a}_v=u$上述式子還能化簡得$f_v=a_v\times f_1+b_v\times f_u+c_v$
$$f_u=k_u\times f_1+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\times f_{fa}+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\times \sum _{v\in so{n}_u}(a_v\times f_1+b_v\times f_u+c_v)+(1?k_u?e_u)$$
于是有更平凡的式子
$$(1?\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\sum _{v\in so{n}_u}{b}_v)\times f_u=(k_u+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\sum _{v\in so{n}_u}{a}_v)\times f_1+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\times f_{fa}+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}\sum _{v\in so{n}_u}{c}_v+(1?k_u?e_u)$$
于是有$$a_u=\frac{k_u+\frac{1?k_u?e_u}{d_u}{\sum }_{v\in so{n}_u}{a}_v}{1?\frac{1?k_u?e_u}{d_u}{\sum }_{v\in so{n}_u}{b}_v}$$
$$b_u=\frac{\frac{1?k_u?e_u}{d_u}}{1?\frac{1?k_u?e_u}{d_u}{\sum }_{v\in so{n}_u}{b}_v}$$
$$c_u=\frac{\frac{1?k_u?e_u}{d_u}{\sum }_{v\in so{n}_u}{c}_v+(1?k_u?e_u)}{1?\frac{1?k_u?e_u}{d_u}{\sum }_{v\in so{n}_u}{b}_v}$$

然后樹形dp$O(n)$遞推即可

#include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; constexpr int N=10010; constexpr double eps=1e-10; int h[N],e[2*N],ne[2*N],idx; void add(int a,int b){e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;} int d[N],n; double K[N],E[N],T[N],A[N],B[N],C[N]; int sgn(double x) {if(fabs(x)<eps) return 0;if(x<0) return -1;return 1; } bool dfs(int u,int fa) {int m=d[u];A[u]=K[u];B[u]=T[u]/m;C[u]=T[u];double temp=0;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(v==fa) continue;if(!dfs(v,u)) return 0;A[u]+=T[u]/m*A[v];temp+=T[u]/m*B[v];C[u]+=T[u]/m*C[v];}if(!sgn(1.0-temp)) return 0;A[u]/=(1-temp);B[u]/=(1-temp);C[u]/=(1-temp);return 1; } int main() {int TT;scanf("%d",&TT);for(int ca=1;ca<=TT;ca++){scanf("%d",&n);memset(h,-1,sizeof(int)*(n+1));idx=0;memset(d,0,sizeof(int)*(n+1));for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v),add(v,u);d[u]++,d[v]++;}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf%lf",&K[i],&E[i]);K[i]/=100;E[i]/=100;T[i]=1-K[i]-E[i];}if(dfs(1,0)&&sgn(1.0-A[1]))printf("Case %d: %.10f\n",ca,C[1]/(1-A[1]));else printf("Case %d: impossible\n",ca);}return 0; }

太秒了吧！！！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU4035 Maze（树上期望）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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