開學了，感覺沒時間打cf了，上課聽不懂，而且一直在忙轉班的事情~~ 下周就要回學校了開心

昨天卡C題太久了，一直在想lcm的性質，還好最后回頭了，當成構造題做了，瞎搞了搞就出來了，然后看D，由于沒有看榜就硬著頭皮看D發下沒思路看下榜單發下都在搞E，然后轉頭搞E，忘了完全平方的性質就GG了~

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E1. Square-free division (easy version)

不難知道$x=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_n^{{\alpha }_n}$，$y=p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}\dots p_m^{{\beta }_m}$
設：
$a_x=p_1^{{\alpha }_1\%2}{p}_2^{{\alpha }_2\%2}\dots p_n^{{\alpha }_n\%2}$，$a_y=p_1^{{\beta }_1\%2}{p}_2^{{\beta }_2\%2}\dots p_m^{{\beta }_m\%2}$
如果$xy$是完全平方數，一定有$a_x=a_y$，于是開個數組，貪心的選即可。

時間復雜度$O(n\sqrt{a_{\max }}+n)$
裸的分解質因數TLE一個點，加了個優化（質數直接不分解）然后過了，其實感覺記憶化一下應該也能過。

// 1996 ms #include<iostream> using namespace std; constexpr int N=200010; int n,k,a[N],pre[10000010]; int prime[10000010],cnt; bool is[10000010]; void init(int n)//篩質數 {for(int i=2;i<=n;i++){if(!is[i]) prime[++cnt]=i;for(int j=1;prime[j]<=n/i;j++){is[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0) break;}} } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int T=1;cin>>T;init(10000000);while(T--){cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=1;int x;cin>>x;if(!is[x]) {a[i]=x;continue;}//小優化for(int j=2;j<=x/j;j++)if(x%j==0){int s=0;while(x%j==0) x/=j,s++;if(s&1) a[i]*=j; }if(x>1) a[i]*=x;}int last=0,res=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(pre[a[i]]>=last){for(int j=last;j<i;j++) pre[a[j]]=0;res++;last=i;}pre[a[i]]=i;}for(int i=1;i<=n;i++) pre[a[i]]=0;cout<<res<<'\n';}return 0; }

其實感覺上述代碼仍然能被卡TEL，時間復雜度主要在求$x$的$a_x$上，學習了Heltion的代碼，發下可以在篩法中做文章： 設$a_x=f(x)$

如果$f_i\%p_j=0$說明$f_i$里面有一個$p_j$，$f_{p_j\times i}$則有兩個$p_j$，于是$f_{p_j\times i}=f_i/p_j$
如果$f_i\%p_j=0$說明$f_i$里面沒有$p_j$，于是$f_{p_j\times i}=f_i\times p_j$
按照上述遞推即可。
時間復雜度$O(a_{\max }+n)$

//311 ms #include<iostream> using namespace std; constexpr int N=200010; int n,k; int a[N]; int pre[10000010]; int prime[10000010],cnt; bool is[10000010]; int f[10000010]; void init(int n) {f[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!is[i]) prime[++cnt]=i,f[i]=i;for(int j=1;prime[j]<=n/i;j++){is[prime[j]*i]=1;if(f[i]%prime[j]) f[i*prime[j]]=f[i]*prime[j];elsef[i*prime[j]]=f[i]/prime[j];if(i%prime[j]==0) break;}} } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int T=1;cin>>T;init(10000000);while(T--){cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=1;int x;cin>>x;a[i]=f[x];}int last=0,res=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(pre[a[i]]>=last){for(int j=last;j<i;j++) pre[a[j]]=0;res++;last=i;}pre[a[i]]=i;}for(int i=1;i<=n;i++) pre[a[i]]=0;cout<<res<<'\n';}return 0; }

E2. Square-free division (hard version)

$10^7$以內質數個數是$664579$，不難得出只要你改變一個數，一定能改變成一個數和任意數組的數的積不是完全平方數。

共有$2^{664579}$選擇，只要挑一個變成當前沒有的即可。

設計dp：
狀態表示：$f_{i,j}$表示考慮前$i$個數，操作了$j$次分成的最小段數。
狀態轉移：考慮第$i$個數和哪些數劃分到一組。

比如最后一組是$[L,i]$，表明數組$[L,i]$的數兩兩相乘不是完全平方數，根據第一問轉化后即$[L,i]$的數都不相同。只需要求出需要操作多少次能使得$[L,i]$數都不相同即可。

一個常用的trick就是記錄這個數前一個和它相同數的位置${\text{pre}}_i$，不難得出$[L,i]$操作次數為${\sum }_{j=L}^{i}1(L\le {\text{pre}}_j\le i)?1$即可轉移。

下面代碼（效仿Heltion）的trick非常巧妙，用一個set維pre數組。最后一組為$[x+1,i]$，然后枚舉操作次數轉移即可。注意邊界情況也就是最后一組為$[1,i]$的情況。

#include<set> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; constexpr int N=200010; int n,k; int a[N]; int pre[N]; int mp[10000010]; int prime[10000010],cnt; bool is[10000010]; int f[10000010]; int dp[N][22]; void init(int n) {f[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!is[i]) prime[++cnt]=i,f[i]=i;for(int j=1;prime[j]<=n/i;j++){is[prime[j]*i]=1;if(f[i]%prime[j]) f[i*prime[j]]=f[i]*prime[j];elsef[i*prime[j]]=f[i]/prime[j];if(i%prime[j]==0) break;}} } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int T=1;cin>>T;init(10000000);while(T--){cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];a[i]=f[a[i]];}for(int i=1;i<=n;i++){pre[i]=mp[a[i]];mp[a[i]]=i;}for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=k;j++) dp[i][j]=n;dp[0][0]=0;set<int,greater<int>> s;for(int i=1;i<=n;i++){if(pre[i]) s.insert(pre[i]);for(int j=0;j<=k;j++) dp[i][j]=dp[i-1][j]+1;int c=0;for(int x:s){if(c>k) break;for(int j=c;j<=k;j++)dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[x][j-c]+1);c++;}if((int)s.size()<=k) dp[i][s.size()]=1;}cout<<*min_element(dp[n],dp[n]+1+k)<<'\n';for(int i=1;i<=n;i++) mp[a[i]]=0;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的codeforces1497 E. Square-free division（数学+dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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