D-Rebuild Tree

Prufer 是這樣建立的：每次選擇一個編號最小的葉結點并刪掉它，然后在序列中記錄下它連接到的那個結點。重復$n?2$次后就只剩下兩個結點，算法結束。（為什么不是$n?1$次呢？因為第$n?1$次操作序列記錄下的節點一定是$n$）

一個 $n$個點 $m$條邊的帶標號無向圖有 $k$個連通塊。我們希望添加$k?1$條邊使得整個圖連通。方案數為$$n^{k?2}?\prod _{i=1}^k{s}_i$$
證明考慮組合意義，詳細見 OIWIKIPrufer 序列

• 有了上面結論，刪$k$條邊之后形成$k+1$個連通塊，設每個連通塊的大小為$s_i$
  ?則生成樹個數為$n^{k?1}?{\prod }_{i=1}^{k+1}{s}_i$，該題就是求$$\sum _{\text{split(n,k)}}{n}^{k?1}?\prod _{i=1}^{k+1}{s}_i=n^{k?1}?\sum _{\text{split(n,k)}}\prod _{i=1}^{k+1}{s}_i$$
• 求${\sum }_{\text{split(n,k)}}{\prod }_{i=1}^{k+1}{s}_i$可以考慮將問題轉化為等價問題：刪掉$k$條邊且在每個聯通塊選一個點的方案數（由于每個連通塊有$s_i$種選擇即得出${\prod }_{i=1}^{k+1}{s}_i$）。

設計dp：
$f_{u,j,0/1}$表示$u$子樹內，刪了$j$條邊，是否選擇點的方案數。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long; template <class T=int> T rd() {T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg; } const int N=50010,mod=998244353; int n,m; vector<int> e[N]; ll qmi(ll a,ll b) {ll v=1;while(b){if(b&1) v=v*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return v; } ll f[N][105][2]; ll g[105][2]; int sz[N]; void dfs(int u,int fa) {sz[u]=1;f[u][0][0]=f[u][0][1]=1;for(auto v:e[u]){if(v==fa) continue;dfs(v,u);memset(g,0,sizeof g);for(int i=0;i<=min(sz[u]-1,m);i++)for(int j=0;j<sz[v]&&i+j<=m;j++){g[i+j][0]=(g[i+j][0]+f[u][i][0]*f[v][j][0]%mod)%mod;g[i+j][1]=(g[i+j][1]+f[u][i][0]*f[v][j][1]%mod+f[u][i][1]*f[v][j][0]%mod)%mod;if(i+j==m) continue;g[i+j+1][0]=(g[i+j+1][0]+f[u][i][0]*f[v][j][1]%mod)%mod;g[i+j+1][1]=(g[i+j+1][1]+f[u][i][1]*f[v][j][1]%mod)%mod;}sz[u]+=sz[v];memcpy(f[u],g,sizeof g);} } int main() {n=rd(),m=rd();for(int i=1;i<n;i++){int u=rd(),v=rd();e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);}dfs(1,0);printf("%lld\n",f[1][m][1]*qmi(n,m-1)%mod);}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021牛客暑期多校训练营4 D-Rebuild Tree（prufer序列+树形dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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