G-Product

Spy_Savior題解
Ultraman-Ace題解
組合意義+容斥原理
轉化后題目關鍵要求有$D+nk$個小球放在$n$個盒子中，每個盒子至少有k個小球的方案數。

題目的等價式子為
$$\sum _{{\sum }_{i=1}^n{a}_i=D+nk[a_i\ge k]}\frac{D!}{{\prod }_{i=1}^n{a}_i!}$$
如果沒有至少有k個小球的限制，那么根據組合意義
$$\sum _{{\sum }_{i=1}^n{a}_i=D+nk[a_i\ge 0]}\frac{(D+nk)!}{{\prod }_{i=1}^n{a}_i!}=n^{D+nk}$$

可得
$$\sum _{{\sum }_{i=1}^n{a}_i=D+nk[a_i\ge 0]}\frac{D!}{{\prod }_{i=1}^n{a}_i!}=\frac{D!}{(D+nk)!}{n}^{D+nk}$$

關鍵是有了限制，考慮容斥原理：

${\text{dp}}_{i,j}$表示$j$個球分到$i$個非法組的方案數，枚舉最后一個非法組的球數和$j$個求的分配情況即可

$${\text{dp}}_{i,j}=\sum _{t=0}^{k?1}{\text{dp}}_{i?1,j?t}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{t}\right)$$

---

容斥原理，設時間$A_i$表示第$i$個組不合法，那么
$$|\overline{A_1}?\overline{A_2}???\overline{A_n}|=\sum _{i=0}^n\{(?1{)}^n\sum _{j,k}|A_j|???|A_k|\}$$

而對于其他組就沒有限制條件，可以帶入上述公式可以直接求得。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long; template <class T=int> T rd() {T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg; } const ll mod=998244353; int n,k; ll D,C[2505][2505],dp[55][2505]; ll qmi(ll a,ll b) {ll v=1;while(b){if(b&1) v=v*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return v; } void init() {for(int i=0;i<=2500;i++)for(int j=0;j<=i;j++) C[i][j]=(j?C[i-1][j]+C[i-1][j-1]:1)%mod;dp[0][0]=1;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<=i*(k-1);j++)for(int t=0;t<k;t++)dp[i+1][j+t]=(dp[i+1][j+t]+dp[i][j]*C[j+t][t]%mod)%mod; } int main() { n=rd(),k=rd(),D=rd<ll>();init();D+=n*k;ll ans=0;for(int i=0;i<=n;i++){ll v=1;for(int j=0;j<=i*(k-1);j++){ll num=(i&1?mod-C[n][i]:C[n][i]);num=num*qmi(n-i,D-j)%mod*dp[i][j]%mod*v%mod;ans=(ans+num)%mod;v=v*(D-j)%mod*qmi(j+1,mod-2)%mod;}}for(int i=D-n*k+1;i<=D;i++) ans=ans*qmi(i,mod-2)%mod;printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021牛客暑期多校训练营4 G-Product（组合意义+容斥原理）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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