K-xay loves sequence

首先不考慮模$k$的限制，容易想到對原數組做一個差分得到$d_i=a_i?a_{i?1}$，顯然對于${?}_{1\le i\le n}{a}_i=0$ 等價于${?}_{1\le i\le n}{d}_i=0$，而對于原數組的區間$\pm 1$等價于在差分數組$d$中找到兩個數一個數+1另一個數-1，或者說找到一個位置$\text{pos}$單獨+1或者-1（這意味著原數組$[a_{\text{pos}}\to a_n]\pm 1$）。上面的最優解顯然是$\max \{\sum d_{+},|\sum d_{?}|\}$

上述變換有些麻煩，如果我們引入$a_{n+1}=0$，并且引入$d_{n+1}=a_{n+1}?a_n$后，對于原數組進行區間$\pm 1$等價于在差分數組$d_{1\to n+1}$選兩個數一個+1另一個-1。并且不難發現無論怎么進行上述操作總有${\sum }_{i=1}^{n+1}{d}_i=0$最優解$\max \{\sum d_{+},|\sum d_{?}|\}=\frac{{\sum }_{i=1}^{n+1}|d_i|}{2}$

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hipamp題解

考慮模$k$的意義下意味著我們可以花費0的代價使得某些$a_i\pm k$，對應在差分數組上即是$d_i\pm k,d_{i+1}?k$，換句話說現在可以讓成對的$d_i\pm k,d_j?k$最終結果仍然是讓${?}_{1\le i\le n}{d}_{i+1}=0$。

不難發現$d_i=d_i+k$那么一定有$d_i<0$，同理$d_i=d_i?k$那么一定有$d_i\ge 0$

如果$d_i=d_i+k$，那么貢獻從$\frac{|d_i|}{2}\to \frac{|d_i+k|}{2},\Delta =\frac{k?2|d_i|}{2}$

如果$d_i=d_i?k$，那么貢獻從$\frac{|d_i|}{2}\to \frac{|d_i?k|}{2},\Delta =\frac{k?2|d_i|}{2}$

于是只需要把$d_i$分為小于0的一組和大于0的一組，按照$\Delta =\frac{k?2|d_i|}{2}$從小到大排序，每次取兩數組中開頭的兩個$({\Delta }_{+})+({\Delta }_{?})$，如果能使答案變小即$({\Delta }_{+})+({\Delta }_{?})<0$即一直取。

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首先如果沒有區間$l,r$的限制，每次詢問只給一個$k$的話可以二分取了多少對$d_{?}+k,d_{+}?k$，快速的求出答案。顯然加上區間限制只需要套一個主席樹即可。

注意對于$[l,r]$區間來說差分數組是$(a_l?0),d_{l+1},\dots d_r,(0?a_r)$，也就是主席樹維護$d_i$，然后每次詢問會增添兩個數$(a_l?0)$和$(0?a_r)$，一個插在正主席樹，一個在負主席樹。一個顯然的想法是單點修改2次，然后詢問過后刪除，就如下面注釋的代碼。但是主席樹不支持修改，因為修改不僅僅影響一棵主席樹，而是會影響許多棵樹，于是只需要在詢問的時候帶上這個數即可。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long; template <class T=int> T rd() {T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg; } const int N=200010; const int U=(1ll<<31)-1; int a[N],d[N]; ll s[N]; int n,m; struct node {int l,r;ll v,ct; }tree[N*100]; int rt[2][N],cnt; void update(int l,int r,int pre,int &u,int v,int c) {u=++cnt;tree[u]=tree[pre];tree[u].ct+=c;tree[u].v+=v*c;if(l==r) return;int mid=l+r>>1;if(v<=mid) update(l,mid,tree[pre].l,tree[u].l,v,c);elseupdate(mid+1,r,tree[pre].r,tree[u].r,v,c); } // void change(int &u,int l,int r,int v,int c) // { // if(!u) u=++cnt; // tree[u].ct+=c; // tree[u].v+=v*c; // if(l==r) return; // int mid=l+r>>1; // if(v<=mid) // change(tree[u].l,l,mid,v,c); // else // change(tree[u].r,mid+1,r,v,c); // } // // 求前k大的sum // ll query(int l,int r,int L,int R,int k) // { // if(!k) return 0ll; // if(l==r) return 1ll*k*l; // int mid=l+r>>1; // int tmp=tree[tree[R].r].ct-tree[tree[L].r].ct; // if(k<=tmp) // return query(mid+1,r,tree[L].r,tree[R].r,k); // else // return (1ll*tree[tree[R].r].v-tree[tree[L].r].v)+query(l,mid,tree[L].l,tree[R].l,k-tmp); // } // // 計算數組l~r的答案 取前k大 // ll calc(int l,int r,int k,int x) // { // // a[l]+d[l+1]~d[r]+abs(0-a[r])// ll v=(s[r]-s[l]+a[r]+a[l])/2; // ll s1=query(0,U,rt[0][l],rt[0][r],k); // ll s2=query(0,U,rt[1][l],rt[1][r],k); // return v-s1-s2+1ll*k*x; // } // 求前k大的sum ll query(int l,int r,int L,int R,int k,int v) {if(!k) return 0ll;if(l==r) return 1ll*k*l;int mid=l+r>>1;int tmp=tree[tree[R].r].ct-tree[tree[L].r].ct+(mid<v&&v<=r);if(k<=tmp) return query(mid+1,r,tree[L].r,tree[R].r,k,v);else return (1ll*tree[tree[R].r].v-tree[tree[L].r].v)+(mid<v&&v<=r)*v+query(l,mid,tree[L].l,tree[R].l,k-tmp,v); } // 計算數組l~r的答案 取前k大 ll calc(int l,int r,int k,int x) {// a[l]+d[l+1]~d[r]+abs(0-a[r])ll v=(s[r]-s[l]+a[r]+a[l])/2;ll s1=query(0,U,rt[0][l],rt[0][r],k,a[l]);ll s2=query(0,U,rt[1][l],rt[1][r],k,a[r]);return v-s1-s2+1ll*k*x; } int main() {n=rd(),m=rd();for(int i=1;i<=n;i++) {a[i]=rd();d[i]=abs(a[i]-a[i-1]);s[i]=s[i-1]+d[i];if(a[i]>=a[i-1]) {update(0,U,rt[0][i-1],rt[0][i],d[i],1);rt[1][i]=rt[1][i-1];}else{update(0,U,rt[1][i-1],rt[1][i],d[i],1);rt[0][i]=rt[0][i-1];}}while(m--){int x=rd(),y=rd(),k=rd();// a[x] d[x+1] d[x+2]... d[y] abs(0-a[y])// change(rt[0][y],0,U,a[x],+1);// change(rt[1][y],0,U,a[y],+1);int l=0,r=min(tree[rt[0][y]].ct-tree[rt[0][x]].ct,tree[rt[1][y]].ct-tree[rt[1][x]].ct)+1;//cout<<l<<' '<<r<<'\n';while(l<r){int mid=l+r>>1;if(calc(x,y,mid,k)<=calc(x,y,mid+1,k)) r=mid;else l=mid+1;}printf("%lld\n",calc(x,y,l,k));// change(rt[0][y],0,U,a[x],-1);// change(rt[1][y],0,U,a[y],-1);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021牛客暑期多校训练营7 K-xay loves sequence（主席树+二分）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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