簡簡單單組合數學

P3158 [CQOI2011]放棋子

\(\uparrow\) 假組合數學，真 \(\text{DP}\) 。

\(f[i][j][k]\) : 用了 \(i\) 行 \(j\) 列，涂了前 \(k\) 種顏色的方案數。

\(g[i][j][k]\) : 用了 \(i\) 行 \(j\) 列，涂了第 \(k\) 種顏色的方案數(用來輔助 \(f\) 數組轉移)。

見代碼

n 個點的聯通圖數量

設 \(dp[i]\) 表示 \(i\) 個點的時候的答案。

我們假設已經計算好了 \([1,n-1]\) 的情況，現在要將第 \(n\) 號點加入。

“正難則反”，我們考慮 \(n\) 個點的非聯通圖的數量。

假定 \(n\) 號點與之前的 \(n-1\) 個點都不連通，那么顯然這是一個非聯通圖。

同時枚舉 \(1\le j\le n-1\) ，使 \(j-1\) 個節點連為 \(1\) 個大小為 \(j\) 的連通塊，選出的方案數為 \(\binom{n-1}{j-1}\) ，選出后的連通塊方案數有 \(dp[j]\) 種。

剩下的 \(n-j\) 個點隨便連邊，由 \(\binom{n-j}{2}\) 種情況，而且這些點與前面 \(j\) 個點沒有任何變相連，保證不連通。

于是遞推方程為：

\[dp[n]=\dbinom{n}{2}-\sum_{j=1}^{j<n}{dp[j]\times \dbinom{n-1}{j-1}\times \dbinom{n-j}{2}} \]

總結

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