兩點之間距離

歐氏距離

即歐幾里得距離。

平面內兩點的距離為

\[\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

立體空間內兩點的距離為

\[\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \]

\(\dots\)

\(n\) 維空間內兩點的距離為

\[\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_1-x_2)^2}} \]

曼哈頓距離

二維空間內，兩點之間距離為

\[d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| \]

\(n\) 維空間內兩點的距離為

\[\sum_{i=1}^{n}{|x_1-x_2|} \]

性質 \(-\) 三角形不等式：從點 \(i\) 到 \(i\) 的直接距離不會大于途經的任何其它點 \(k\) 的距離。

\[d(i,j)\le d(i,k)+d(k,j) \]

切比雪夫距離

二維空間內，兩點之間距離為

\[d(A,B)=\min{(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)} \]

曼哈頓距離與切比雪夫距離的相互轉化

設 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，

• 曼哈頓坐標系是通過切比雪夫坐標系旋轉 \(45^\circ\) 后，再縮小到原來的一半得到的

• 把每個點 \((x,y)\) 轉化為 \((x+y,x-y)\) ，新坐標系下的切比雪夫距離 就是 原坐標系下的曼哈頓距離 。

• 把每個點 \((x,y)\) 轉化為 \((\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2})\) ，新坐標系下的曼哈頓距離 就是 原坐標系下的切比雪夫距離 。

例題

P5098 [USACO04OPEN]Cave Cows 3

對于式子 \(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\) ，可以假設 \(x_1-x_2\ge 0\) ，根據 \(y_1-y_2\) 正負分類討論：

• \(y_1-y_2\ge 0\) ：

\[|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)=(x-1+y_1)-(x_2+y_2) \]

• \(y_1-y_2< 0\) ：

\[|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=(x_1-x_2)+(y_2-y_1)=(x-1-y_1)-(x_2-y_2) \]

分別求出 \(x+y\) 和 \(x-y\) 的最大、最小值之差即可。

P4648 [IOI2007] pairs 動物對數 (曼哈頓距離轉切比雪夫距離)

P3964 [TJOI2013]松鼠聚會 (切比雪夫距離轉曼哈頓距離)

向量叉積

對于點對 \((A,B,C)\) ，設：

\(x_1=A_x-B_x,y_1-A_y-B_y,x_2=C_x-B_x,y_2=C_y-B_y\)

若：

\[(x_1\times y_2-x_2\times y_2)>0 \]

則：

若：

\[(x_1\times y_2-x_2\times y_2)<0 \]

則：

因此我們就可以利用叉積來維護凸包以及多邊形面積。

點的旋轉

讓點 \((x_1,y_1)\) 繞點 \((x_2,y_2)\) 旋轉 \(t^o\) :

\(x=(x_1-x_2)\times \cos{t}-(y_1-y_2)\times \sin{t}+x_2\)

\(y=(x_1-x_2)\times \sin{t}+(y_1-y_2)\times \cos{t}+y_2\)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计算几何初步的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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