強(qiáng)聯(lián)通分量

強(qiáng)連通：有向圖 \(G\) 強(qiáng)連通表示，\(G\) 中任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)連通。

強(qiáng)連通分量( Strongly Connected Components ，簡(jiǎn)稱 \(\operatorname{SCC}\) )：極大的 強(qiáng)連通子圖。

Tarjan

維護(hù)了以下兩個(gè)變量：

• \(dfn\) ：深度優(yōu)先搜索遍歷時(shí)結(jié)點(diǎn) \(u\) 被搜索的次序 。

• \(low\) ：設(shè)以 \(u\) 為根的子樹(shù)為 \(subtree(u)\) 。 \(low\) 定義為以下結(jié)點(diǎn)的 \(dfn\) 的最小值： \(subtree(u)\) 中的結(jié)點(diǎn)；從 \(subtree(u)\) 通過(guò) 一條 不在搜索樹(shù)上的邊能到達(dá)的結(jié)點(diǎn) 。

從根開(kāi)始的一條路徑上的 \(dfn\) 嚴(yán)格遞增，\(low\) 嚴(yán)格非降。

對(duì)于一個(gè)連通分量圖，我們很容易想到，在該連通圖中有且僅有一個(gè) \(dfn[u]=low[u]\) 。該結(jié)點(diǎn)一定是在深度遍歷的過(guò)程中，該連通分量中第一個(gè)被訪問(wèn)過(guò)的結(jié)點(diǎn)，因?yàn)樗?\(dfn\) 值和 \(low\) 值最小，不會(huì)被該連通分量中的其他結(jié)點(diǎn)所影響。

因此，在回溯的過(guò)程中，判定 \(dfn[u]=low[u]\) 的條件是否成立，如果成立，則棧中從 后面的結(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè) \(\operatorname{SCC}\) 。

P2341 [HAOI2006]受歡迎的牛 G \(-\) 模板

$\texttt{code}$ #define Maxn 10005 #define Maxm 50005 void tarjan(int u) {dfn[u]=low[u]=++Time; s.push(u),ins[u]=true;for(int i=hea[u];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]) tarjan(ver[i]),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);else if(ins[ver[i]]) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);}if(dfn[u]==low[u]){sum+=1;do{belong[u]=sum;u=s.top(); s.pop(); ins[u]=false;cnt[sum]+=1;} while(dfn[u]!=low[u]);} }for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n+m)\) 。

Kosaraju

復(fù)雜度 \(O(n+m)\) 。

Garbow

復(fù)雜度 \(O(n+m)\) 。

我們可以利用強(qiáng)聯(lián)通分量將一張圖的每個(gè)強(qiáng)連通分量都縮成一個(gè)點(diǎn)。

然后這張圖會(huì)變成一個(gè) \(\operatorname{DAG}\)，可以進(jìn)行拓?fù)渑判蛞约案嗥渌僮?。

應(yīng)用 \(-\) 縮點(diǎn)

P3387 【模板】縮點(diǎn)

for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i); for(int i=1;i<=tot[0];i++)if(belong[fro[0][i]]!=belong[ver[0][i]])add(1,belong[fro[0][i]],belong[ver[0][i]]),ind[belong[ver[0][i]]]++; topo();

---

割點(diǎn)與橋

在無(wú)向圖中刪去這個(gè)點(diǎn) \(/\) 邊會(huì)使極大強(qiáng)聯(lián)通增大，那么這個(gè)點(diǎn) \(/\) 邊為割點(diǎn) \(/\) 橋 。

注意這里的 \(dfn\) 表示不經(jīng)過(guò)父親，能到達(dá)的最小的 \(dfn\) 。

割點(diǎn)

P3388 【模板】割點(diǎn)(割頂)

關(guān)鍵條件：

• 若 \(u\) 是根節(jié)點(diǎn)，當(dāng)至少存在 \(2\) 條邊滿足 \(low[v] >= dfn[u]\) 則 \(u\) 是割點(diǎn) 。

• 若 \(u\) 不是根節(jié)點(diǎn)，當(dāng)至少存在 \(1\) 條邊滿足 \(low[v] >= dfn[u]\) 則 \(u\) 是割點(diǎn) 。

$\texttt{code}$ void tarjan(int u,int fa) {dfn[u]=low[u]=++Time;for(int i=hea[u];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i],u),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);if(low[ver[i]]>=dfn[u]) cnt[u]+=1;}else if(ver[i]!=fa) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);} }for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) cnt[i]-=1,tarjan(i,0); for(int i=1;i<=n;i++) if(cnt[i]>=1) ans+=1;

割邊(橋)

關(guān)鍵條件：

• 當(dāng)存在一條邊條邊滿足 \(low[v] > dfn[u]\) 則邊 \(i\) 是割邊

關(guān)鍵部分的代碼：

注意：記錄上一個(gè)訪問(wèn)的邊時(shí)要記錄邊的編號(hào)，不能記錄上一個(gè)過(guò)來(lái)的節(jié)點(diǎn)(因?yàn)闀?huì)有重邊)！！！

$\texttt{code}$ void tarjan(int x,int Last_edg) {dfn[x]=low[x]=++Time;for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i],i);low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>dfn[x]) edg[i]=edg[i^1]=1;}else if(i!=(Last_edg^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);} }for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0); for(int j=2;j<=tot;j+=2) ans+=tag[j];

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雙聯(lián)通分量

邊雙聯(lián)通分量

顯然，找出每一個(gè)橋，去掉這些橋之后的每一個(gè)聯(lián)通塊都是一個(gè)邊雙聯(lián)通字圖。

注意：用邊雙縮點(diǎn)的時(shí)候先處理出割邊，之后用 \(\text{dfs}\) 求出每一個(gè)雙聯(lián)通分量，不用棧！！

例題：P2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G

$\texttt{solution}$

一句話題意：要將原圖轉(zhuǎn)化為邊雙聯(lián)通圖需要添加的最少邊數(shù)

我們可以先將所有的橋找出來(lái)，并同時(shí)對(duì)所有邊雙縮點(diǎn)，會(huì)得到一顆縮完點(diǎn)的、由橋構(gòu)成的“樹(shù)”。

我們發(fā)現(xiàn)這棵“樹(shù)”上“葉子結(jié)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)除二向上取整就是需要添加的邊的條數(shù)。

點(diǎn)雙連通分量

小粉兔的圓方樹(shù)——點(diǎn)雙詳解

【模板】點(diǎn)雙連通分量

回憶 \(low\) 的定義，就是 \(x\) 的子樹(shù)內(nèi)最多經(jīng)過(guò)一條反祖邊或一條向父親的邊能夠到達(dá)的最小的 \(dfn\) 值。

當(dāng) \(x\) 不是這個(gè)連通塊的根時(shí)，如果存在一條邊滿足 \(low(ver)\ge dfn(x)\)，那么 \(x\) 就是一個(gè)個(gè)點(diǎn)。

而 \(x\) 是根時(shí)，\(x\) 需要存在至少兩條邊滿足以上條件。

這是因?yàn)楫?dāng) \(x\) 為根時(shí)，沒(méi)有父親與之相連。

那么當(dāng)我們?cè)谇簏c(diǎn)雙時(shí)，只需要判斷子樹(shù)內(nèi)的 \(low\) 是否會(huì) \(<dfn(x)\)，若會(huì)，則說(shuō)明子樹(shù)中的點(diǎn)能夠到達(dá) \(x\) 的祖先，\(x\) 必然不是個(gè)點(diǎn)。而若不會(huì)，即 \(low(ver)\ge dfn(x)\)，則說(shuō)明 \(x\) 是這個(gè)點(diǎn)雙的頂端個(gè)點(diǎn)，這時(shí)可以將遞歸進(jìn)入的點(diǎn)都彈出，直至棧頂元素變?yōu)?\(ver\)，再將 \(ver\) 從棧中彈出，加上 \(x\) 就是這個(gè)點(diǎn)雙聯(lián)通分量了。

還要注意孤立點(diǎn)的情況。

如果需要處理點(diǎn)雙中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，那么可以在棧中存放點(diǎn)，例如一下代碼：

void tarjan(int x) {dfn[x]=low[x]=++Time,sta[++tp]=x;if(tp==1 && !hea[x]) { SCC[++sum].pb(x); return; }for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i]);low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>=dfn[x]){sum++;do { SCC[sum].pb(sta[tp--]); }while(sta[tp+1]!=ver[i]);SCC[sum].pb(x);}}else low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);} }

而如果需要處理點(diǎn)雙中的邊，那么就需要在棧中存邊，如以下代碼：

void tarjan(int x,int fa) {dfn[x]=low[x]=++Time;int cntson=0;for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){sta[++tp]=i,tarjan(ver[i],i),cntson++;low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>=dfn[x]){isdian[x]=true,sum++;int tmp=0;do{tmp=sta[tp--];scc[sum].pb(fro[tmp]);scc[sum].pb(ver[tmp]);}while(tmp!=i);}}else if(i!=(fa^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]); }if(fa==0 && cntson==1) isdian[x]=false; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的连通性相关的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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