正題

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題目大意

給出$n,m,k$
$$v=\frac{{\prod }_{i=1}^n{a}_i(a_i\in N_{+},a_i<=m)}{k}(gcd(v,k)=1)$$
求$a$的方案個數$mod10007$的值

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解題思路

$f_{i,j}$表示前i個數的乘積和k的最大公約數為k的第j個約數時的方案個數。
動態轉移方程：
$$f_{i,j}=\sum _{k=1}^{pr{c}_j\%pr{c}_k=0}{f}_{i?1,k}?f_{1,prc{n}_{pr{c}_j/pr{c}_k}}$$
$pr{c}_i$為k的第i個約數，$prc{n}_i$為i是k的第幾個約數。
然后我們考慮如何求出$1～m$內有多少個數與k的最大公約數為k的第i個約數
也就是${\sum }_{i=1}^m(gcd(i,k)==d)(d|n)$
首先
$gcd(i,k)=d?gcd(i/d,k)=1$(數論基礎)
我們可以考慮用容斥，我們將重復偶數次的減去，重復奇數次的加上。
之后預處理一下$pr{c}_{i}modpr{c}_j==0$的情況就好了。

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code

#pragma GCC optimize(2) %:pragma GCC optimize(3) %:pragma GCC optimize("Ofast") %:pragma GCC optimize("inline") %:pragma GCC optimize("-fgcse") %:pragma GCC optimize("-fgcse-lm") %:pragma GCC optimize("-fipa-sra") %:pragma GCC optimize("-ftree-pre") %:pragma GCC optimize("-ftree-vrp") %:pragma GCC optimize("-fpeephole2") %:pragma GCC optimize("-ffast-math") %:pragma GCC optimize("-fsched-spec") %:pragma GCC optimize("unroll-loops") %:pragma GCC optimize("-falign-jumps") %:pragma GCC optimize("-falign-loops") %:pragma GCC optimize("-falign-labels") %:pragma GCC optimize("-fdevirtualize") %:pragma GCC optimize("-fcaller-saves") %:pragma GCC optimize("-fcrossjumping") %:pragma GCC optimize("-fthread-jumps") %:pragma GCC optimize("-funroll-loops") %:pragma GCC optimize("-fwhole-program") %:pragma GCC optimize("-freorder-blocks") %:pragma GCC optimize("-fschedule-insns") %:pragma GCC optimize("inline-functions") %:pragma GCC optimize("-ftree-tail-merge") %:pragma GCC optimize("-fschedule-insns2") %:pragma GCC optimize("-fstrict-aliasing") %:pragma GCC optimize("-fstrict-overflow") %:pragma GCC optimize("-falign-functions") %:pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks") %:pragma GCC optimize("-fcse-follow-jumps") %:pragma GCC optimize("-fsched-interblock") %:pragma GCC optimize("-fpartial-inlining") %:pragma GCC optimize("no-stack-protector") %:pragma GCC optimize("-freorder-functions") %:pragma GCC optimize("-findirect-inlining") %:pragma GCC optimize("-fhoist-adjacent-loads") %:pragma GCC optimize("-frerun-cse-after-loop") %:pragma GCC optimize("inline-small-functions") %:pragma GCC optimize("-finline-small-functions") %:pragma GCC optimize("-ftree-switch-conversion") %:pragma GCC optimize("-foptimize-sibling-calls") %:pragma GCC optimize("-fexpensive-optimizations") %:pragma GCC optimize("-funsafe-loop-optimizations") %:pragma GCC optimize("inline-functions-called-once") %:pragma GCC optimize("-fdelete-null-pointer-checks") #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #define BPM 10007 #define N 4010 using namespace std; int n,m,k,frct,prit,fft[N],sum,m1; int pri[N],frc[N],ff[N][N],ys[10000001],f[N][N]; void dfs(int x,int zf,int ans)//容斥 {if(x>prit) {sum+=m1/ans*zf;return;}dfs(x+1,zf,ans);dfs(x+1,-zf,ans*pri[x]); } int main() {scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);int sk=sqrt(k);for(int i=1;i<=sk;i++){if(k%i==0){frc[++frct]=i;if(k/i>sk) frc[++frct]=k/i;}}//求約數sort(frc+1,frc+1+frct);int tmp=k;for(int i=2;i<=sk;i++){if(tmp==1) break;if(tmp%i==0){pri[++prit]=i;while(tmp%i==0) tmp/=i;}}//求質因子if(tmp!=1) pri[++prit]=tmp;sort(pri+1,pri+tmp+1);for(int i=1;i<=frct;i++){ys[frc[i]]=i;sum=0;m1=m/frc[i];dfs(1,1,1);f[1][i]=sum%BPM;}//計算f[1]for(int i=1;i<=frct;i++)for(int j=1;j<=i;j++)if(frc[i]%frc[j]==0)ff[i][++fft[i]]=j;//預處理關系for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<=frct;j++){if(!fft[j]) continue;for(int k=1;k<=fft[j];k++)f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][ff[j][k]]*f[1][ys[frc[j]/frc[ff[j][k]]]])%BPM;//動態轉移}printf("%d",f[n][frct]); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的nssl1176-轨道【数论,Dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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