正題

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題目大意

求$$\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d(gcd(i,j)==k)$$

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解題思路

定義
$$f(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(gcd(i,j)==i)$$
然后計(jì)算f利用容斥計(jì)算答案

之后我們考慮如何計(jì)算
$$F(i)=\sum _d^{d|i}f(i)$$
顯然可得出
$$F(i)=?\frac{n}{i}??\frac{m}{i}?$$
然后莫比烏斯反演一下
$$f(i)=\sum _{d|i}\mu (\frac{d}{k})+F(d)$$
$$f(i)=\sum _{d|i}\mu (\frac{d}{k})+?\frac{n}{d}??\frac{m}{d}?$$
時(shí)間復(fù)雜度降低到$O(n)$
之后我們可以發(fā)現(xiàn)$?\frac{n}{d}?$只有$2\sqrt{n}$種取值，那么$?\frac{n}{i}??\frac{m}{i}?$最多就有$2(\sqrt{n}+\sqrt{m})$種取值，我們可以直接計(jì)算這個(gè)范圍內(nèi)莫比烏斯函數(shù)的前綴和然后直接$O(\sqrt{min\{n,m\}})$計(jì)算答案

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code

// luogu-judger-enable-o2 #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 50000 #define ll long long using namespace std; ll miu[N+10],c,d,a,b,k,t; bool v[N+10]; void sumul() {for(ll i=1;i<=N;i++) miu[i]=1,v[i]=0;for(ll i=2;i<=N;i++){if(v[i]) continue;miu[i]=-1;for(ll j=2*i;j<=N;j+=i){v[j]=1;if((j/i)%i==0) miu[j]=0;else miu[j]*=-1;}}for(ll i=1;i<=N;i++)miu[i]+=miu[i-1]; } ll ask(ll n,ll m) {if(n>m) swap(n,m);ll last,re=0;n/=k;m/=k;for(ll i=1;i<=n;i=last+1){last=min(n/(n/i),m/(m/i));re+=(n/i)*(m/i)*(miu[last]-miu[i-1]);}return re; } int main() {sumul();scanf("%lld",&t);for(ll i=1;i<=t;i++){scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d,&k);printf("%lld\n",ask(b,d)+ask(a-1,c-1)-ask(a-1,d)-ask(b,c-1));} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P2522-[HAOI2011]Problem b【莫比乌斯反演】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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