正題

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題目大意

有$n$個人$m$輛車。
人有$t_i$，車有$f_j$。第i個人修第j倆車時間是$t_i?f_j$。
一輛車要每個人都修一遍，且一個人修好后要求下一個人沒有工作。對于每輛車找一個修理開始時間要求總修理時間最小(得按順序修)。

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解題思路

定義$t_i={\sum }_{i=1}^m{t}_i$
設$g_i$表示第$i$輛車開始的時間，然后答案就是$g_m+f_n?s_i$
且有$$g_i=g_{i?1}+\max \{t_k?f_{i?1}?t_{k?1}?f_i\}$$
時間復雜度$O(nm)$
愉快$TLE$，我們考慮斜率優化
對于決策$j,k$，且$k$比$j$優
那有$$t_k?f_{i?1}?t_{k?1}?f_i>t_j?f_{i?1}?t_{j?1}?f_i$$
$$?(t_k?t_j)?f_{i?1}>(t_{k?1}?t_{j?1})?f_i$$
$$?\frac{t_k?t_j}{t_{k?1}?t_{j?1}}>\frac{f_i}{f_{i?1}}$$

然后我們發現$\frac{f_i}{f_{i?1}}$并不是單調遞增的，但是$\frac{t_k?t_j}{t_{k?1}?t_{j?1}}$肯定越大越優，所以我們可以按照$\frac{t_k?t_j}{t_{k?1}?t_{j?1}}$維護一個單調遞增的單調隊列，然后就可以對于每個$\frac{f_i}{f_{i?1}}$在單調隊列上二分。
時間復雜度$O(m\log n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=110000; ll n,m,t[N],f[N],q[N],g[N],tail; double tan_(ll x,ll y) {return (t[x]-t[y])/(double)(t[x-1]-t[y-1]);} int main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&t[i]),t[i]+=t[i-1];for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&f[i]);for(ll i=1;i<=n;i++){while(tail>1&&tan_(i,q[tail])>tan_(q[tail],q[tail-1])) tail--;q[++tail]=i;}for(ll i=2;i<=m;i++){ll l=0,r=tail;double k=(double)f[i]/(double)f[i-1];while(l<r){ll mid=(l+r)/2;if(tan_(q[mid+1],q[mid])>k) l=mid+1;else r=mid;}g[i]=g[i-1]+t[q[l]]*f[i-1]-t[q[l]-1]*f[i];}printf("%lld",g[m]+t[n]*f[m]); }

總結

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