正題

題目鏈接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2834

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題目大意

求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n\%i)?(m\%j)?(i!=j)$$

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解題思路

$$\sum _{i=1}^n(n\%i)?\sum _{j=1}^m(m\%j)?\sum _{i=1}^{min\{n,m\}}(n\%i)?(m\%i)$$
前面的很好求，我們考慮如何求后面的。
單獨考慮$$\sum _{i=1}^n(n\%i)=n^2?\sum _{i=1}^n?n/i??i$$
同理$$\sum _{i=1}^{min\{n,m\}}(n??n/i??i)?(m??m/i??i)$$
$$\sum _{i=1}^{min\{n,m\}}n?m?(m??n/i?+n??m/i?)?i+?m/i???n/i??i^2$$
$$n?m?min\{n,m\}?\sum _{i=1}^{min\{n,m\}}(m??n/i?+n??m/i?)?i??m/i???n/i??i^2$$
然后除了$i^2$其他用整體分塊都好求，之后我們考慮如何求${\sum }_{i=1}^{min\{n,m\}}{i}^2$

$$\sum _{i=1}^{min\{n,m\}}{i}^2=\frac{i?(i+1)?(2?i+1)}{6}$$

數學歸納法

$$\sum _{i=1}^{min\{n,m\}}{x}^2=\frac{x?(x+1)?(2?x+1)}{6}$$
$$(\sum _{i=1}^{min\{n,m\}}{x}^2)+(x+1{)}^2=\frac{x?(x+1)?(2?x+1)}{6}+(x+1{)}^2$$
$$=>\frac{(x+1)?(2?x^2+x)+6(x+1{)}^2}{6}$$
$$=>\frac{(x+1)?(2?x^2+7x+6)}{6}$$
$$=>\frac{(x+1)?(x+2)?(2?x+3)}{6}$$
$$=>\frac{(x+1)?(x+2)?(2?(x+1)+1)}{6}$$

證畢

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$code$

#include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long #define sum(l,r) ((l+r)*(r-l+1)/2) using namespace std; const int XJQ=1e9+7; ll n,m,ans; ll Qs(ll n,ll k) {ll ans=0;for(ll x=1,gx;x<=min(n,k);x=gx+1){gx=min(k/(k/x),n);(ans+=(k/x)*sum(x,gx)%XJQ)%=XJQ;}return ans%XJQ; } ll lx(ll x) {return x*(x+1)%XJQ*(2*x+1)%XJQ*166666668%XJQ; } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);if(m>n) swap(n,m);ans=(n*n-Qs(n,n))%XJQ;ans=(m*m-Qs(m,m))%XJQ*ans%XJQ;ans=(ans+Qs(m,m)*n%XJQ)%XJQ;ans=(ans+Qs(m,n)*m%XJQ)%XJQ;ans=(ans-m*m%XJQ*n%XJQ+XJQ)%XJQ;int tmp=0;for(ll i=1,dn,dm,next;i<=m;i=next+1){dm=m/i;dn=n/i;next=min(n/dn,m/dm);(tmp+=(lx(next)-lx(i-1))*dn%XJQ*dm%XJQ)%=XJQ;}printf("%lld",(ans-tmp+XJQ)%XJQ); } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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