正題

題目鏈接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4841

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題目大意

求$n$個點的簡單聯通無向圖的個數。

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解題思路

首先考慮$n^2$，我們設$g_i$表示$i$個點的簡單無向圖的個數，顯然$g_i=2^{\frac{n(n?1)}{2}}$

然后我們設$f_i$表示$i$個點的簡單無向聯通圖的個數，然后我們只要固定一個聯通塊大小為$k(k<i)$然后剩下的點都不與其聯通就可以去掉不連通的。

也就是$$f_n=g_n?\sum _{i=1}^{n?1}{f}_i?C_{n?1}^{i?1}?g_{n?i}$$

這就是$O(n^2)$

之后我們考慮優化，將$C$拆開
$$f_n=g_n?\sum _{i=1}^{n?1}{f}_i?\frac{(i?1)!}{(n?i)!(i?1)!}?g_{n?i}$$
然后將$n$的項提出
$$f_n=g_n?\sum _{i=1}^{n?1}{f}_i?\frac{(n?1)!}{(n?i)!(i?1)!}?g_{n?i}$$
$$\frac{g_n}{(n?1)!}=\sum _{i=1}^n\frac{f_i}{(i?1)!}\frac{g_{n?i}}{(n?i)!}$$
然后使用$NTT$卷起來
$$F(x)=\sum _{i=1}^{+\infty }\frac{f_i}{(i?1)!}{x}^i$$
$$G(x)=\sum _{i=0}^{+\infty }\frac{g_{n?i}}{(n?i)!}{x}^i$$
$$H(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{g_n}{(n?1)!}{x}^n$$
上兩個的$i$與最后一個的$n$同理，所以現在有
$$H(x)=F(x)G(x)$$
$$F(x)=H(x)G(x{)}^{?1}$$
現在我們要求$F(x)$而$H(x)$和$G(x)$都知道。

那么我們將$G(x)$進行求逆后用$NTT$與$H(x)$相乘就好了。

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$code$

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long using namespace std; const ll N=131000,XJQ=1004535809; ll n,fac[N],inv[N],r[N*4],Gi; ll power(ll x,ll b) {ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans; } struct Poly{ll x[N*4];void cpy(Poly &a,ll len){for(ll i=0;i<len;i++)x[i]=a.x[i];}void reset(ll len){for(ll i=0;i<len;i++)x[i]=0;}void ntt(ll n,ll op){for(ll i=1;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(x[i],x[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(XJQ-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,XJQ-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*x[len+i]%XJQ;x[len+i]=(x[i]-tt+XJQ)%XJQ;x[i]=(x[i]+tt)%XJQ;buf=buf*tmp%XJQ;}}}} }; Poly get_inv(Poly &a,Poly &b,Poly &c,ll n){if(a.x[0]==1) b.x[0]=1;else b.x[0]=power(a.x[0],XJQ-2);for(ll w=1;(1<<(w-1))<n;++w){ll len=(1<<w);c.cpy(a,len);c.ntt(len*2,1);b.ntt(len*2,1);for(ll i=0;i<(len<<1);i++)b.x[i]=(2-b.x[i]*c.x[i]%XJQ+XJQ)*b.x[i]%XJQ;b.ntt(len*2,-1);ll inv=power(len*2,XJQ-2);for(ll i=0;i<len;i++)b.x[i]=b.x[i]*inv%XJQ;for(ll i=len;i<len*2;i++) b.x[i]=0;}return b; } Poly H,Ginv,a,b; int main() {scanf("%lld",&n);n++;fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){inv[i]=XJQ-(XJQ/i)*inv[XJQ%i]%XJQ;fac[i]=fac[i-1]*inv[i]%XJQ;}Ginv.x[0]=1;for(ll i=1;i<n;i++){ll tmp=power(2,i*(i-1)/2%(XJQ-1));H.x[i]=tmp*fac[i-1]%XJQ,Ginv.x[i]=tmp*fac[i]%XJQ;}Ginv=get_inv(Ginv,a,b,n);ll len=1,w=0;while(len<(n<<1)) len<<=1,w++;for(ll i=n;i<len;i++) Ginv.x[i]=0;H.ntt(len,1);Ginv.ntt(len,1);for(ll i=0;i<=len;i++)H.x[i]=H.x[i]*Ginv.x[i]%XJQ;H.ntt(len,-1);printf("%lld",power(inv[2],w)*H.x[n-1]%XJQ*power(fac[n-2],XJQ-2)%XJQ); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4841,jzoj3303-城市规划【NTT,多项式求逆,dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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