正題

題目鏈接:$\text{https://www.luogu.org/problemnew/show/P4719}$

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題目大意

每次修改一個點權，求最大權獨立集。

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解題思路

首先考慮普通$dp$，設$f_{i,0/1}$表示$i$的子樹，是否選擇自己這個點的最大權獨立集。
然后十分顯然$$f_{x,0}=\sum max\{f_{y,0},f_{y,1}\}$$
$$f_{x,1}=\sum f_{y,0}$$

我們考慮將其轉換矩陣乘法，首先擴展為$$C_{i,j}=max\{A_{i,k}+B_{k,j}\}$$
然后考慮轉換上面的公式。
然后設$g_{i,0/1}$表示在$i$的子樹中，不在$i$的重鏈上的子孫，是否選擇自己這個點的最大權獨立集
那么有
$$g_{i,0}=f_{i,0}+max\{g_{i+1,0},g_{i+1,1}\}$$
$$g_{i,1}=f_{i,1}+g_{i+1,0}$$
然后構造矩陣
$$\left[\begin{array}{cc}{f}_{i,0}& f_{i,0}\\ f_{i,1}& 0\end{array}\right]?\left[\begin{array}{c}{g}_{i+1,0}\\ g_{i+1,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_{i,0}\\ g_{i,1}\end{array}\right]$$

然后每次修改時我們用矩陣$val(i)$表示$i$的單獨矩陣，然后我們修改后帶回到線段樹中，然后重新計算出新的$val(i)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll Size=2,N=1e5+100; ll n,m,tot,cnt,ls[N],fa[N],v[N],f[N][2]; ll seg[N],id[N],top[N],siz[N],son[N],ed[N]; struct matrix{ll a[Size][Size]; }val[N]; matrix operator*(matrix a,matrix b) {matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(ll i=0;i<Size;i++)for(ll j=0;j<Size;j++)for(ll k=0;k<Size;k++)c.a[i][j]=max(c.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]);return c; } struct Tree_node{ll l,r;matrix g; }; struct Edge_node{ll to,next; }a[N<<1]; struct Line_cut_tree{Tree_node t[N<<2];void Build(ll x,ll l,ll r){t[x].l=l;t[x].r=r;if(l==r){ll u=seg[l],g0=0,g1=v[seg[l]];for(ll i=ls[u];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa[u]||y==son[u]) continue;g0+=max(f[y][0],f[y][1]),g1+=f[y][0];}t[x].g.a[0][0]=t[x].g.a[0][1]=g0;t[x].g.a[1][0]=g1;val[l]=t[x].g;return;}ll mid=(l+r)/2;Build(x*2,l,mid);Build(x*2+1,mid+1,r);t[x].g=t[x*2].g*t[x*2+1].g;}matrix Query(ll x,ll l,ll r){if(t[x].l==l&&t[x].r==r)return t[x].g;if(t[x*2].r>=r) return Query(x*2,l,r);if(t[x*2+1].l<=l) return Query(x*2+1,l,r);return Query(x*2,l,t[x*2].r)*Query(x*2+1,t[x*2+1].l,r);}void Change(ll x,ll z){if(t[x].l==t[x].r){t[x].g=val[t[x].l];return;}if(t[x*2].r>=z) Change(x*2,z);else Change(x*2+1,z);t[x].g=t[x*2].g*t[x*2+1].g;} }Tree; void addl(ll x,ll y) {a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot; } void dfs1(ll x,ll Fa) {siz[x]++;fa[x]=Fa;f[x][1]=max(v[x],0ll);for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==Fa)continue;dfs1(y,x);f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);f[x][1]+=f[y][0];siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;} } void dfs2(ll x,ll fa) {id[x]=++cnt;seg[cnt]=x;if(son[x]){top[son[x]]=top[x];dfs2(son[x],x);}else ed[top[x]]=cnt;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa||y==son[x]) continue;top[y]=y;dfs2(y,x);} } matrix ask(ll x) {return Tree.Query(1,id[top[x]],ed[top[x]]);} void path_change(ll x,ll w) {val[id[x]].a[1][0]+=w-v[x];v[x]=w;matrix old,news;while(x){old=ask(top[x]);Tree.Change(1,id[x]);news=ask(top[x]);x=fa[top[x]];val[id[x]].a[0][0]+=max(news.a[0][0],news.a[1][0])-max(old.a[0][0],old.a[1][0]);val[id[x]].a[0][1]=val[id[x]].a[0][0];val[id[x]].a[1][0]+=news.a[0][0]-old.a[0][0];} } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&v[i]);for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}top[1]=1;dfs1(1,0);dfs2(1,0);Tree.Build(1,1,n);matrix ans;while(m--){ll x,w;scanf("%lld%lld",&x,&w);path_change(x,w);ans=ask(1);printf("%lld\n",max(ans.a[0][0],ans.a[1][0]));} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4719-[模板]动态DP【矩阵乘法,树链剖分,线段树】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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