文章目錄

• • 二分答案的作用
  • 堆和區間
  • 很糙ddp
  • 線段樹合并
  • 網絡流結論の1
  • 樹上莫隊
  • 對角線與GCD
  • 區間與掃描線與方案數
  • 歐拉歐拉*1
  • 斯坦納樹
  • 切比雪夫距離
  • 二分匹配結論の1
  • min-max容斥
  • 計算幾何の -1

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二分答案的作用

求最大值最小$or$最小值最大

將求值問題轉換為判斷問題

在判斷問題之間相互轉換

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堆和區間

當查詢前$k$個最值區間時可以將開始時先將區間丟入堆中，每次取出堆頂然后將區間按照答案分裂成兩個存入堆中

[NOI2010]超級鋼琴【RMQ,堆】
[十二省聯考2019]異或粽子【可持久化Trie,堆】

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很糙ddp

將權值改為矩陣，然后將運算改成廣義矩陣乘法
然后用區間數據結構維護即可
[模板]動態DP【矩陣乘法,樹鏈剖分,線段樹】
保衛王國【動態dp,最小覆蓋集】
迷宮【ddp,線段樹,矩陣乘法】

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線段樹合并

首先是必要的動態開點，然后合并時從需要合并的兩顆線段樹的根出發

若兩邊都有左節點那就遞歸左節點(右節點同理)

若只有一邊有左節點那就讓合并后的樹直接連接向左節點(右節點依舊同理)

時間復雜度$:O(n\log n)$
時間復雜度證明(很糙):

我們不難發現合并的最大復雜度是最小的那顆子樹的大小，那么因為只有$n$次插入那么一棵樹最多$n\log n$個節點，但是因為是最小的那顆子樹大小，所以不可能每顆子樹都是$nlogn$個節點，所以對于每個節點最多被作為最小的子樹合并$\log n$次。

證畢

([NOI2013模擬]法法塔的獎勵【權值線段樹,線段樹合并】)[https://blog.csdn.net/Mr_wuyongcong/article/details/95209896]

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網絡流結論の1

結論:最小割中對于一條邊$(x,y)$在殘量網絡中$s$可以到達$x$不能到達$t$且$y$可以到達$t$不能到達$x$那么這條邊是必割邊

證明:

在殘量網絡上$s$可以到達$x$且$y$可以到達$t$那么說明若該邊不割那么$s$就可以通過該邊到達$t$。假設在$s$到$x$的路上有同樣長度的一條道路且割掉后可以使$s$到達$x$那么在殘量網絡上該邊的流量必定為0，因為切割掉$x?>y$的流量也必定會經過該邊所以在殘量網絡上$s$就不可以到達$x$了。所以該假設不成立。

證畢
秘密任務【最短路,網絡流最小割】

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樹上莫隊

維護一個歐拉序，然后在歐拉序上進行莫隊即可。
[NOI2013模擬]蘋果樹【樹上莫隊,LCA】

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對角線與GCD

$n?m$的矩陣對角線會穿過$n+m?(n,m)$個格子
證明:

對于若$(n,m)==1$(互質)則會經過$n+m?1$個格子，所以我們可以將$n?m$拆分成$gcd(n,m)$個$n/gcd(n,m)?m/gcd(n,m)$的格子于是我們發現答案就是$$(n/gcd(n,m)+m/gcd(n,m)?1)?gcd(n,m)$$
也就是$$n+m?gcd(n,m)$$

證畢

蛋糕切割【數論,GCD】

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區間與掃描線與方案數

對于$x,y$，給出若干個限制如下:
若$x\in [L{x}_i,R{x}_i]$時要求$y\in /[L{y}_i,R{y}_i]$

那么我們可以建立一個$(L{x}_i,L{y}_i,R{x}_i,R{y}_i)$的矩陣然后掃描線求矩陣的總覆蓋面積即可。

[Noip提高組模擬1]樹【線段樹,掃描線,倍增】

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歐拉歐拉*1

$$\phi (m!)=m!\prod _{i=1}^k\frac{p_i?1}{p_i}$$
[SDOI2008]沙拉公主的困惑【線性篩,歐拉函數,逆元】

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斯坦納樹

一張圖，求一個最小權的生成樹要求包含指定的點。

用狀態壓縮$dp$后用$SPFA$轉移(因為有后效性)
挖寶藏(treasure)【斯坦納樹,SPFA,狀壓】

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切比雪夫距離

定義:
$$di{s}_{i,j}=max\{|x_i?x_j|,|y_i?y_j|\}$$

用法:

將曼哈頓距離轉換為切比雪夫距離，讓$(x,y)$變為$(x+y,x?y)$。與一個點距離$\le D$的點就變為了在改點為中心的$2?D$長的正方形內。

將切比雪夫距離轉換為曼哈頓距離，讓$(x,y)$變為$(\frac{x+y}{2},\frac{x?y}{2})$。然后就可以使用二維前綴和進行計算。

世界第一的猛漢王【切比雪夫距離,掃描線】

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二分匹配結論の1

每個極大匹配都是完全匹配的充要條件是在完全匹配中每個聯通塊兩邊點數相同且都是滿二分圖。

證明

證畢

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min-max容斥

$$max\{S\}=\sum _{T\in S}min\{T\}?(?1{)}^{|T|?1}$$

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計算幾何の -1

對于一個這樣的三角形
$BC$和$CA$中有一條斜率比$AB$小，一條比$AB$大

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的学习手记(2019/7/05~2019/8/31)——快乐暑假的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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