正題

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題目大意

$n$個臺階，第$i$個高度為$h_i$，把它分為兩個集合，使得兩個集合中相鄰的$h_i$差值和最小。

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解題思路

設$f_i$表示剛好處理到$i$且目前集合開頭是$i$的最小差值
定義$$s_i=\sum _{j=1}^i|h_j?h_{j?1}|$$

然后有轉移方程$$f_i=min\{f_j+s_{i?1}?s_j+|h_i?h_{j?1}|\}(j\in [1..i?1])$$

考慮用數據結構優化上面的$dp$，我們將情況分為：

$h_i\ge h_{j?1}:$有轉移$$f_i=s_{i?1}+h_i+min\{f_j?s_j?h_{j?1}\}$$

$h_i\le h_{j?1}:$有轉移$$f_i=s_{i?1}?h_i+min\{f_j?s_j+h_{j?1}\}$$

用兩個樹狀數組分開維護后面的$min$值即可。

時間復雜度$O(n\log n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const ll N=5e5+10; ll n,m,h[N],b[N],s[N],f[N],ans; struct Tree_Array{ll t[N];void Change(ll x,ll val){while(x<=m){t[x]=min(t[x],val);x+=lowbit(x);}}ll Ask(ll x){ll ans=2147483647;while(x){ans=min(ans,t[x]);x-=lowbit(x);}return ans;} }Ta,Tp; int main() {//freopen("data.txt","r",stdin);memset(Ta.t,0x3f,sizeof(Ta.t));memset(Tp.t,0x3f,sizeof(Tp.t));scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&h[i]);b[i]=h[i];s[i]=s[i-1]+abs(h[i]-h[i-1]);}b[n+1]=0;sort(b+1,b+2+n);m=unique(b+1,b+2+n)-b-1;ans=1e18;ll lp=1,la=m;for(ll i=1;i<=n;i++){ll pre=lower_bound(b+1,b+1+m,h[i])-b;ll aft=m-pre+1;f[i]=min(s[i-1]+h[i]+Tp.Ask(pre),s[i-1]-h[i]+Ta.Ask(aft));if(i==1) f[i]=h[i];Tp.Change(lp,f[i]-s[i]-h[i-1]);Ta.Change(la,f[i]-s[i]+h[i-1]);ans=min(ans,f[i]+s[n]-s[i]);la=aft;lp=pre;}printf("%lld",ans); }

總結

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