正題

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題目大意

給出$n$，求一個長度為$2n$的由$1～n$各兩個組成的一個序列使得有一個數的前綴數量不小于任何數字。

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解題思路

首先這個數字肯定是第一個數字，這里假設為$1$，那么要求任意位置$1$的前綴數量都不小于別的數。

也就是第二個$1$在任何一個數字的前面，我們考慮枚舉第二個1的位置$i$，那么對面該位置前方有$n$個數可以放置，方案為$P(n,i?2)$。然后對于該位置后方，有$2?n?i$個數可以放置，但是有$n?i+1$個數字有一個重復，所以方案為$\frac{(2?n?1)!}{2^{n?i+1}}$

所以答案就是$$n?\sum _{i=2}^{n}P(n,i?2)?\frac{(2?n?1)!}{2^{n?i+1}}$$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e6+10,XJQ=998244353; ll n,fac[N],z[N],pows[N],ans; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans; } int main() {scanf("%lld",&n);fac[0]=z[0]=pows[0]=1;for(ll i=1;i<=2*n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;for(ll i=1;i<=n;i++)z[i]=z[i-1]*(n-i)%XJQ,pows[i]=pows[i-1]*2%XJQ;for(ll i=2;i<=n+1;i++){ans+=z[i-2]*fac[2*n-i]%XJQ*power(pows[n-i+1],XJQ-2)%XJQ;ans%=XJQ;}printf("%lld",ans*n%XJQ); }

總結

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