正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4587

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題目大意

$n$個(gè)數(shù)，每次選擇一個(gè)區(qū)間，然后詢問這個(gè)區(qū)間的子集和所不能表示的最小的正整數(shù)。

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解題思路

假設(shè)我們從小到大加入數(shù)字，我們發(fā)現(xiàn)如果這個(gè)數(shù)不是$1$顯然這個(gè)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)$1$。

我們假設(shè)現(xiàn)在能表示的最小的數(shù)是$mx$，加入一個(gè)數(shù)$x$時(shí)，如果$x>mx+1$那么$mx+1$就不能表現(xiàn)出來，否則我們就可以表示出$1～mx+x$的數(shù)，即讓$mx=mx+x$。

考慮如何優(yōu)化，如果我們之前能表現(xiàn)出$1～mx$，加上某些數(shù)之后能表現(xiàn)出$1～m{x}^{\prime }$了，那么我們顯然可以尋找任何一個(gè)在$mx+1～m{x}^{\prime }+1$里的數(shù)字來擴(kuò)充，那么我們之間將這段區(qū)間的和取來不就好了嗎。這個(gè)可以用主席樹維護(hù)。

時(shí)間復(fù)雜度如何，我們發(fā)現(xiàn)每次找到的區(qū)間和如果還能往下顯然是大于$mx$的，然后會讓$m{x}^{\prime }+mx$也就是每次至少可以讓$m{x}^{\prime }$加上自己的一半，這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度是接近倍增也就是$log$的。

所以時(shí)間復(fù)雜度$O(n{\log }^{2}n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e6+10,M=5e6+10,inf=1e9; ll n,m,cnt,rt[N]; ll ls[M],rs[M],sum[M]; ll Change(ll x,ll L,ll R,ll val){ll y=++cnt;rs[y]=rs[x];ls[y]=ls[x];ll mid=(L+R)>>1;sum[y]=sum[x]+val;if(L==R)return y;if(val<=mid)ls[y]=Change(ls[x],L,mid,val);else if(val>mid)rs[y]=Change(rs[x],mid+1,R,val);return y; } ll Ask(ll x,ll y,ll L,ll R,ll l,ll r){if(!(sum[x]-sum[y]))return 0;if(l==L&&r==R)return sum[x]-sum[y];ll mid=(L+R)>>1;if(r<=mid)return Ask(ls[x],ls[y],L,mid,l,r);if(l>mid)return Ask(rs[x],rs[y],mid+1,R,l,r);return Ask(ls[x],ls[y],L,mid,l,mid)+Ask(rs[x],rs[y],mid+1,R,mid+1,r); } int main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);rt[i]=Change(rt[i-1],1,inf,x);}scanf("%lld",&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll l,r,lim=0,at=0;scanf("%lld%lld",&l,&r);while(1){ll w=Ask(rt[r],rt[l-1],1,inf,lim+1,at+1);if(!w)break;lim=at+1;at+=w;}printf("%lld\n",at+1);}return 0; }

總結(jié)

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