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正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6860

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題目大意

$p(a,b)=1$當且經當一只走$a?b$矩形的馬可以走到棋盤上任何一個點
求$$\sum _{a=1}^n\sum _{b=1}^{n}p(a,b)$$

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解題思路

這個馬能走到全圖的充要條件顯然是它能走到$(0,1)$。考慮給出$(a,b)$求它能否走到$(0,1)$

首先如果$gcd(x,y)=1$顯然不行

因為走的順序無所謂將走的路程分成兩段，一段是$(x\pm a,y\pm b)$，一段是$(x\pm b,y\pm b)$。

顯然對于第一段能走到的點可以表示為$(2ax,2ay)$或$(2ax+x,2ay+y)$。第二段同理。

$$\{\begin{array}{c}2ax=2by\\ 2cy=2dx+1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}2ax+x=2by\\ 2cy+y=2dx+1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}2ax=2by+y\\ 2cy=2dx+x+1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}2ax+x=2by+y\\ 2cy+y=2dx+x+1\end{array}$$

第一個我們有$2(ax?by)=0$且$2(cy?dx)=1$。因為$x,y$互質顯然$(ax?by)$和$(cy?dx)$都可以表示成任意整數。所有就有$2k=0$且$2k=1$，顯然無解。

同理第二個可以推出$2k+x=0$且$2k+y=1$，就是$x$是偶數，$y$是奇數

第三個推出$2k?y=0$且$2k?x=1$，就是$x$是奇數，$y$是偶數

第四個是$2k+x?y=0$且$2k+y?x=1$，顯然無解

也就是如果$x+y$是奇數，且$gcd(x,y)=1$那么有$p(x,y)=1$，直接可以計算答案，時間復雜度$O(n^2)$

定義$w(x)$表示$1～x$中與它互質且不是同奇偶的數的個數。若$x$是一個偶數，那么顯然沒有偶數和它互質那么有$w(x)=\phi (x)$，若$x$是奇數，那么對于每個偶數$y$和它互質也一定有一個對應的奇數$x?y$和它互質，那么有$w(x)=\frac{\phi (x)}{2}$。然后求和可以計算答案，時間復雜度$O(n)$

考慮如何用杜教篩優化，我們可以將問題轉換為分開求奇數和偶數的$\phi$和，對于每個偶數一定可以被表示為$2k(k\le \frac{n}{2})$，那么如何$k$是偶數就有$\phi (2k)=\phi (k)$，如果$k$是奇數就有$\phi (2k)=2?\phi (k)$，也就是如果求出$1～\frac{n}{2}$的奇偶的$\phi$和就可以求出偶數的$\phi$和，然后杜教篩減去求出奇數的，這是一個分治的過程，可以通過本題。

時間復雜度$O(n^{\frac{2}{3}}\log n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<map> #define ll unsigned long long using namespace std; const ll N=1e7+1; ll T,n,cnt,mu[N],phi[N],pri[N]; ll sp1[N],sp2[N],p1[1100],p2[1100]; bool vis[N]; map<ll,ll> sp,sm; void prime(){phi[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!vis[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(ll j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<N;j++){vis[pri[j]*i]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[pri[j]]*phi[i];}}for(ll i=1;i<N;i++){sp1[i]=sp1[i-1]+phi[i]*(i&1);sp2[i]=sp2[i-1]+phi[i]*(!(i&1));}return; } ll GetSphi(ll n){if(n<N)return sp1[n]+sp2[n];if(sp[n])return sp[n];ll rest=(n%2ull==0ull)?((ll)n/2ull*(n+1ull)):((ll)(n+1ull)/2ull*n);for(ll l=2ull,r;l<=n;l=r+1ull)r=n/(n/l),rest-=(r-l+1ull)*GetSphi(n/l);return (sp[n]=rest); } void dfs(ll x,ll n){p1[x]=p2[x]=0;if(n<N){p1[x]=sp1[n];p2[x]=sp2[n];return;}dfs(x+1,n/2);p2[x]+=p1[x+1]+p2[x+1]*2ull; p1[x]+=GetSphi(n)-p2[x];return; } int main() {prime();scanf("%llu",&T);while(T--){scanf("%llu",&n);dfs(0,n);printf("%llu\n",p1[0]+p2[0]*2ull-1ull);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P6860-象棋与马【欧拉函数,杜教筛】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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