正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2485

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題目大意

給出$a,b,p$要求一下一種

$a^b\%p$的值

$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$的最小非負整數解

$a^x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$的最小非負整數解

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解題思路

一道縫合題

第一個直接套快速冪就好了，時間復雜度$O(\log n)$。

第二個是$exgcd$，考慮如何求$ax+by=c$

根據裴蜀定理我們對于方程$ax+by=gcd(a,b)$一定有解，考慮求出這組解。

$$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=gcd(b,a?b?\frac{a}{b}?)$$
$$ax+by=b{x}^{\prime }+(a?b?\frac{a}{b}?)y^{\prime }$$
$$ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }??\frac{a}{b}?y^{\prime })$$
故有$x=y^{\prime },y=x^{\prime }??\frac{a}{b}?y^{\prime }$
求$gcd$的時候順便求解就好了。

那得到這組$x_0,y_0$以后，如果$c$是$gcd(a,b)$的倍數那么才有解，而這個方程的通解就是$$\{\begin{array}{c}x=x_0?\frac{c}{d}+k?d?b\\ y=y_0?\frac{c}{d}?k?d?a\end{array}$$
然后拿最小的那組就好了，時間復雜度$O(\log n)$

第三個是$BSGS$

定義$t=\sqrt{p}$那么$a^x$就可以表示為$a^{i?t?j}$
然后$$a^{i?t?j}\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
$$a^{i?t}\equiv b?a^j\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

因為$b?a^j$最多只有$t$種，我們用$map$存下來

然后枚舉$a^{i?t}$的值與$map$中的對應即可。因為有$map$所以時間復雜度為$O(\sqrt{n}\log n)$，用$hash$理論可以優化到$O(\sqrt{n})$

需要注意的是$a^t\%p=0$時，當且僅當$b=1$時有解為$0$。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<map> #define ll long long using namespace std; ll T,K,a,b,p; map<ll,ll> mp; void work1(ll a,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}printf("%lld\n",ans);return; } ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,x,y);ll z=x;x=y;y=z-a/b*y;return d; } void work2(ll a,ll b,ll p){ll x,y;ll d=exgcd(a,p,x,y);if(b%d){printf("Orz, I cannot find x!\n");return;}x*=b/d;y*=b/d;printf("%lld\n",(x%(d*p)+d*p)%(d*p)); } ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans; } void work3(ll a,ll b,ll p){mp.clear();ll t=(int)sqrt(p)+1;for(ll i=0;i<t;i++)mp[b]=i,b=b*a%p;a=power(a,t,p);if(a==0&&b==1){printf("1\n");return;}else if(a==0) {printf("Orz, I cannot find x!\n");return;}ll tmp=1,ans=1e18;for(ll i=0;i<=t;i++){ll j=(mp.find(tmp)!=mp.end())?mp[tmp]:-1;if(j>=0&&i*t-j>=0)ans=min(ans,i*t-j);tmp=tmp*a%p;}if(ans==1e18)printf("Orz, I cannot find x!\n");else printf("%lld\n",ans); } int main() {scanf("%lld%lld",&T,&K);while(T--){scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);if(K==1)work1(a%p,b,p);if(K==2)work2(a%p,b%p,p);if(K==3)work3(a%p,b%p,p);} } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P2485-[SDOI2011]计算器【BSGS,exgcd,快速幂】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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