正題

題面鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/U142584

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題目大意

$n$個$01$串，按順序分成兩個序列，然后拼接成一個序列（拼接串$x,y$的話就是變成一個前綴包含$x$，后綴包含$y$的最短的串）。求最短長度。

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解題思路

顯然將$01$串的狀態(tài)壓起來
定義$pr{e}_{x,i}$表示串$x$的前$i$位，$su{f}_{x,i}$表示串$x$的后$i$位，$co{m}_{x,y}$表示串$x,y$的最長公共位。
那么設$f_{i,j,k}$表示到第$i$個串，第一個串以$a_i$結尾，第二個的后$j$位是$k$時的最小長度和。
那么第一種轉移就是拼接$a_{i?1}$和$a_i$，也就是$$f_{i,j,k}=f_{i?1,j,k}+L?co{m}_{a_{i?1},a_i}$$
第二種是$a_i$和$k$拼起來，那么第一個串的$k$就變成了$a_{i?1}$
$$f_{i,j,suf(a_{i?1},j)}=f_{i?1,j,pre(a_i,j)}+L?j$$

這樣轉移是$O(n?l?2^l)$的，顯然無法通過本題

發(fā)現(xiàn)主要的時間落在第一個轉移上，我們考慮優(yōu)化掉第一個轉移，我們發(fā)現(xiàn)每次的$L?co{m}_{a_{i?1},a_i}$是一個定值，我們可以先讓最后的答案加上這些定值，然后第一個轉移可以去掉，二個轉移變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--display">$$f_{i,j,suf(a_{i?1},j)}=f_{i?1,j,pre(a_i,j)}+co{m}_{a_{i?1},a_i}?j$$

時間復雜度$O(n?l)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=2e5+10,inf=2147483647/3; int n,L,a[N],f[21][1<<21],ans; char s[N]; int pre(int x,int i) {return x>>(L-i);} int suf(int x,int i) {return x&((1<<i)-1);} int com(int x,int y){for(int i=L;i>=0;i--)if(suf(x,i)==pre(y,i))return i; } int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%s",s);if(i==1)L=strlen(s);for(int j=0;j<L;j++)a[i]=(a[i]<<1)+(s[j]-'0');}memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][0]=L;for(int i=2;i<=n;i++){int tmp=L-com(a[i-1],a[i]),mins=inf;ans+=tmp;for(int j=0;j<=L;j++)mins=min(mins,f[j][pre(a[i],j)]+L-j-tmp);for(int j=0;j<=L;j++)f[j][suf(a[i-1],j)]=min(f[j][suf(a[i-1],j)],mins);}printf("%d\n",f[0][0]+ans); }

總結

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