正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4161

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題目大意

一個$1～n$的排列，$f(x)$表示在置換$x$下置換多少次才能回到原來的排列，求在所有置換下$f(x)$的所有可能的值的數量。

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解題思路

一個置換的$f$值就是這個置換的所有循環大小的$lcm$，問題轉換為將$n$分成若干個數的和，求這些數的$lcm$可能的數量。

拆成的一個循環對于$lcm$的貢獻我們也可以拆分質因數的形式，所以我們直接讓拆分成的數一定是質數是不會影響答案的。

考慮$dp$，設$f_{i,j}$表示已經考慮了前$i$個質數，這些數的和為$j$時的答案，那么有$$f_{i,j}=\sum f_{i,j?pr{i}_j^k}$$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1100; ll n,f[N][N],pri[N],cnt; bool v[N]; int main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;}}f[0][0]=1;for(ll i=1;i<=cnt;i++)for(ll j=0;j<=n;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(pri[i]>j)continue;for(ll k=pri[i];k<=j;k*=pri[i])f[i][j]+=f[i-1][j-k];}ll ans=0;for(ll i=0;i<=n;i++)ans+=f[cnt][i];printf("%lld",ans); return 0; }

總結

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