正題

bzoj沒了，在darkbzoj交吧
題目鏈接:https://darkbzoj.tk/problem/3309

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題目大意

定義$f(x)$表示$x$所有質因數中最大的指數冪。

求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}f(gcd(i,j))$$

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解題思路

很顯然要用莫反算，但是如果要算我們需要預處理${\sum }_{d|x}f(d)\mu (\frac{x}{d})$的前綴和

考慮如何線性篩這個東西，我們先需要兩個東西$si{z}_x,mu{l}_x$分別表示$x$的質因子個數，和所有質因子的一次冪乘積。然后這個東西很容易用線性篩處理出來，之后定義$su{m}_x={\sum }_{d|x}f(d)\mu (\frac{x}{d})$。

那么當$x=mu{l}_x$時，我們選擇兩次的質因子是沒有意義的，因為這些數的$\mu$為$0$。那么也就是一個大小為$si{z}_x$的集合，每個子集$S$會產生$(?1{)}^{|S|}$的貢獻，那么可以發現這些貢獻的和就是$(?1{)}^{si{z}_x+1}$。

如果當一個$y=x?mu{l}_x$時，也就是這些可以選擇的數沒有改變，所以同理$su{m}_y=su{m}_x$。

如果一個數不能被表達成以上形式時，它們的$sum$都為$0$。

然后線性篩加一個前綴和就好了，時間復雜度$O(N+T\sqrt{n+m})$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e7+10; ll T,n,m,cnt,pri[N],siz[N],mul[N],sum[N]; bool v[N]; void Prime(){for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,siz[i]=1,mul[i]=i;if(mul[i]==i)sum[i]=(siz[i]&1)?1:-1;if(sum[i]&&(ll)i*mul[i]<N)sum[i*mul[i]]=sum[i];for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){siz[i*pri[j]]=siz[i];mul[i*pri[j]]=mul[i];break;}siz[i*pri[j]]=siz[i]+1;mul[i*pri[j]]=mul[i]*pri[j];}}for(ll i=1;i<N;i++)sum[i]+=sum[i-1];return; } int main() {Prime();scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]);}printf("%lld\n",ans);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Bzoj3309-DZY Loves Math【莫比乌斯反演,线性筛】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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