正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3700

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題目大意

一個$n?n$個數的數字表格，開始位置$(a,b)$上的是$a?b$。數字表格需滿足以下條件

對于任意$(a,b)$有$f(a,b)=f(b,a)$

對于任意$(a,b)$有$b?f(a,a+b)=(a+b)?f(a,b)$

$m$次修改數字表格中的一個數，你需要調整其他數字使其滿足條件，然后求前$k$行前$k$列的數字和。

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解題思路

一道神仙題，首先我們拿出這個不倫不類的式子$b?f(a,a+b)=(a+b)?f(a,b)$化成
$$\frac{f(a,a+b)}{a(a+b)}=\frac{f(a,b)}{ab}$$
發現這個式子和更相減損法很像，反正最后遞歸下去可以化成$$\frac{f(a,b)}{ab}=\frac{f(gcd(a,b),gcd(a,b))}{gcd(a,b{)}^2}$$
定義$d=gcd(a,b)$，也就是$f(a,b)=\frac{f(d,d)ab}{gcd(a,b{)}^2}$
那么$k?k$的數字和就是$$\sum _{i=1}^k{f}_{i,i}\sum _{x=1}^k\sum _{y=1}^k\frac{xy}{i^2}[gcd(x,y)==i]$$
然后化成$$\sum _{i=1}^k{f}_{i,i}\sum _{x=1}^{?\frac{k}{i}?}\sum _{y=1}^{?\frac{k}{i}?}xy[gcd(x,y)==1]$$
之后我們有結論是后面那個東西${\sum }_{x=1}^n{\sum }_{y=1}^{n}xy[gcd(x,y)==1]={\sum }_{i=1}^n\phi (i)i^2$
具體證明的話就是

令$H(x)={\sum }_{x=1}^n{\sum }_{y=1}^{n}xy[gcd(x,y)==1]$
那么$H(x)$比$H(x?1)$多了一個$2x{\sum }_{y=1}^n[gcd(x,y)==1]y$
也就是多了一個$x?2?\frac{\phi (x)x}{2}$

所以可以線性預處理這個東西

我們就可以對后面那個東西做整除分塊，我們就需要處理$f_{i,i}$的前綴和

我們一次操作需要進行$\sqrt{n}$次詢問前綴和，但是修改只需要一次，所以我們可以平衡一下時間。也就是降低詢問復雜度提升修改復雜度，用分塊存儲塊中每個位置的塊內前綴和和塊的前綴和即可。

時間復雜度$O(m\sqrt{n})$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define ll long long using namespace std; const ll N=4e6+10,P=1e9+7; ll n,m,T,w[N],v[N],sum[N],L[N],R[N]; ll cnt,pri[N],phi[N],g[N],pos[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void Prime(){phi[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];}}for(ll i=1;i<=n;i++)g[i]=(g[i-1]+phi[i]*i%P*i%P)%P;return; } ll GetS(ll x){if(!x)return 0ll;return (sum[pos[x]-1]+w[x])%P; } int main() {scanf("%lld%lld",&m,&n);Prime();T=sqrt(n);for(ll i=1;i<=n;i++)v[i]=i*i%P;for(ll i=1;i<=T;i++)L[i]=R[i-1]+1,R[i]=i*T;if(T*T!=n)T++,L[T]=R[T-1]+1,R[T]=n;for(ll i=1;i<=T;i++){for(ll j=L[i];j<=R[i];j++)pos[j]=i,w[j]=(v[j]+w[j-1]*(j>L[i]))%P;sum[i]=(sum[i-1]+w[R[i]])%P;}while(m--){ll a,b,x,k;scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&x,&k);x%=P;ll d=__gcd(a,b),y=pos[d];v[d]=x*d*d%P*power(a*b%P,P-2)%P;for(ll i=d;i<=R[y];i++)w[i]=((i>L[y])*w[i-1]+v[i])%P;for(ll i=y;i<=T;i++)sum[i]=(sum[i-1]+w[R[i]])%P;ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=k;l=r+1){r=k/(k/l);ans=(ans+g[k/l]*(GetS(r)-GetS(l-1)+P)%P)%P;}printf("%lld\n",ans);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3700-[CQOI2017]小Q的表格【分块,欧拉函数】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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