正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5516

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題目大意

$n$個字母的一個字符串，每次隨機選取兩個不同的位置$(x,y)$讓第$x$個位置的字符變成第$y$個位置的字符。

求期望多少次能夠把所有字符變成同一個。

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解題思路

因為最終狀態很多，所以我們考慮枚舉最終狀態，我們稱之為目標狀態。

設$p_i$表示目標狀態的字符有$i$個時，該狀態變為最終狀態的概率，那么有$$p_i=\frac{i(n?i)}{n(n?1)}{p}_{i?1}+\frac{n(n?1)?2i(n?i)}{n(n?1)}+\frac{i(n?i)}{n(n?1)}{p}_{i+1}?p_i=\frac{p_{i?1}+p_{i+1}}{2}$$
我們觀察一下這個式子，其實等價于$p_i?p_{i?1}=p_{i+1}?p_i$表示$p$是一個等差數列，而$p_0=0,p_n=1$所以$p_i=\frac{i}{n}$

然后設$f_i$表示目標狀態有$i$個且是最終狀態的情況下到達最終狀態的期望步數，而因為 數學期望=概率×步數 ，和 單次期望=$\frac{1}{單次概率}$

所以我們成功造成一次變化的期望次數是$\frac{1}{\frac{2i(n?i)}{n(n?1)}}$，又因為多和少的概率是相等的，所以有方程
$$f_i{p}_i=p_i\frac{n(n?1)}{2i(n?i)}+\frac{p_{i+1}{f}_{i+1}+p_{i?1}{f}_{i?1}}{2}$$
因為知道$p_i=\frac{i}{n}$所以直接帶進去解出來就有
$$f_i=\frac{n(n?1)}{2i(n?i)}+\frac{i?1}{2i}{f}_{i?1}+\frac{i+1}{2i}{f}_{i+1}$$
換一個方式表達就是
$$(?\frac{i?1}{2i}{f}_{i?1})+(f_i)+(?\frac{i+1}{2i}{f}_{i+1})=\frac{n(n?1)}{2i(n?i)}$$
又有$f_n=0$
這樣問題就變成了$n?1$個線性方程的方程組，因為每個方程組只有三個元，高斯消元會有大量多余步驟，所以我們直接手動先消掉$f_{i?1}$再返回來消掉$f_{i+1}$就好了。

時間復雜度$O(n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=2100; int n,num[26]; double f[N],a[N],ans; char s[N]; int main() {scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);for(int i=1;i<=n;i++)num[s[i]-'A']++;for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=n*(n-1)/(2.0*i*(n-i));a[1]=1;for(int i=1;i<n;i++){double r=-(i+1)/(2.0*i),l=-i/(2.0*(i+1));double k=-l/a[i];f[i+1]+=f[i]*k;a[i+1]=1+k*r;}f[n]=0;for(int i=n-1;i>=1;i--){double r=-(i+1)/(2.0*i);f[i]-=f[i+1]*r,f[i]=f[i]/a[i];}for(int i=0;i<26;i++)ans+=num[i]*f[num[i]]/(double)n;printf("%.1lf\n",ans); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P5516-[MtOI2019]小铃的烦恼【期望dp,线性消元】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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