正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4718

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題目大意

給出一個數$n$，如果它是質數則輸出$Prime$，否則輸出它的最大質因子。

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解題思路

$\text{Pollard-Rho}$算法的前置知識是$\text{Miller-Rabin}$。在使用$\text{Miller-Rabin}$判掉質數之后，$\text{Pollard-Rho}$使用基于隨機的思想能夠較快的求出一個大數的因子之一。

樸素的隨機算法就是隨機一個數判斷它是不是因子，我們先使用一個較為優秀的隨機方式，$f(x)=f(x?1{)}^2+c$（其中$c$為一個常數）。

然后我們利用在這個函數上“跑”的距離來判斷，也就是每次拿某兩個$i,j$，判斷$|f(i)?f(j)|$是否為它的因數。

但是如果枚舉的話$f$函數上會出現一些“環”，我們需要快速的判掉“環”的方法。每次拿$s,t$，令$t=2s$，若環長為$c$，那么有$f(x)=f(x+c)$，當某一時刻$f(t)=f(s)$那么環長一定是$s$的整數倍。

然后判到環就退出，如果沒有找到就換一個常數重新做，這樣的我們的算法雛形就形成了。

但是這樣還是跑的很慢，發現我們在過程中大量調用了$gcd(d,p)$導致時間變慢。考慮優化，我們可以每次先做一堆，然后在把這一堆拿過去一起搞定。首先我們有$gcd(ac,b)=gcd(a,b)$，然后根據$gcd$的原理，我們有$gcd(a,b)=gcd(a\%b,b)$那么也就是我們有$gcd(a,b)=gcd(ac\%b,b)$。

那么假設我們有若干個間隔$a_1,a_2,a_3,...$那么我們把這數乘起來模$p$，然后把得到的結果$k$與$p$取$gcd$就等價于拿$a$中逐個取與$p$取$gcd$。

所以我們的優化方法就是第$i$次拿$2^i$個間隔去一起與$p$判斷，但是因為$i$后面會很大導致副作用，所以將$i$設一個上界$8$即可。
時間復雜度期望是$O(n^{2.5})$，但跑的飛快

回到這題來，我們先對$n$用$\text{MR}$判斷一次質數，然后跑$\text{Pr}$弄出一個因子$d$，之后將$n$的因子$d$都去光后分別把$n$和$d$丟下去遞歸繼續跑。可以記錄一個目前最大質因子來剪去一些不優狀態。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cstdlib> #define ll long long using namespace std; const ll pri[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,27}; ll T,n,ans; ll ksc(ll a,ll b,ll p){ll c=(long double)a*b/p;long double ans=a*b-c*p;if(ans<0)ans+=p;else if(ans>=p)ans-=p;return ans; } ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ksc(ans,x,p);x=ksc(x,x,p);b>>=1;}return ans; } bool Mr(ll p){if(p==2)return 1;if(p<2||!(p&1))return 0;ll t=p-1,s=0;while(!(t&1))t>>=1,s++;for(ll i=0;i<10&&pri[i]<p;i++){ll x=power(pri[i],t,p),k;for(ll j=0;j<s;j++){k=ksc(x,x,p);if(k==1&&x!=1&&x!=p-1)return 0;x=k;}if(x!=1)return 0;}return 1; } ll gcd(ll a,ll b) {return (!b)?a:gcd(b,a%b);} ll Pr(ll p){ll s=0,t=0,c=1ll*rand()%(p-1)+1;for(ll g=1,val=1,d;;g<<=1,s=t,val=1){for(ll j=0;j<g;j++){t=(ksc(t,t,p)+c)%p;val=ksc(val,abs(t-s),p);if(j%127==0&&(d=gcd(p,val))>1)return d;}d=gcd(p,val);if(d>1)return d;}return p; } void solve(ll n){if(n<ans||n<2)return;if(Mr(n)){ans=n;return;}ll d=0;while((d=Pr(n))>=n);while(n%d==0)n/=d;solve(n);solve(d);return; } signed main() {srand(998244353);scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);if(Mr(n)){printf("Prime\n");continue;}ans=0;solve(n);printf("%lld\n",ans);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4718-[模板]Pollard-Rho算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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