正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4980

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題目大意

$n$個(gè)物品圖上$m$種顏色，求在可以旋轉(zhuǎn)的情況下本質(zhì)不同的涂色方案。

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解題思路

既然是群論基本題就順便寫一下剛剛了解到的相關(guān)知識(shí)把（順便消磨一下時(shí)間

一個(gè)群$(G,\times )$定義為一個(gè)在運(yùn)算$\times$下滿足以下條件的集合

封閉性：若存在$a,b\in G$那么有$a\times b\in G$

交換律：若有$a,b,c\in G$那么有$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

單位元：群中$?e\in G$滿足$?x\in G$都有$x\times e=x$

逆元：對(duì)于$?x\in G$都有一個(gè)唯一元素$y\in G$且$x\times y=e$

然后中間一些東西很多很雜這里不多說(shuō)了，直接到置換部分。

一般來(lái)說(shuō)規(guī)定置換第一行為$(1,2,3...)$，那么定義一個(gè)置換$\sigma =(g_1,g_2,g_3,...)$。如果一個(gè)置換作用與一個(gè)排列$a$，一般寫為$\sigma (a)=b$的話，就有$b_i=a_{g_i}$。需要注意的是對(duì)于一個(gè)置換兩次后相當(dāng)與使用了另一個(gè)置換。（也就是置換只能生效一次

然后就是$\text{Burnside}$引理了，對(duì)于一個(gè)置換群$G$，若$G$作用與一個(gè)集合$X$時(shí)，集合$X$中本質(zhì)不同的元素個(gè)數(shù)為
$$\frac{1}{|G|}\sum _{f\in G}C(f)$$
其中$C(f)$表示$X$的所有元素中對(duì)于置換$f$的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)量。

而$\text{Polya}$定理就是建立在$\text{Burnside}$引理上的，對(duì)于一個(gè)置換$f$，定義它的循環(huán)節(jié)數(shù)量為$T(f)$，用$m$種顏色染色時(shí)方本質(zhì)不同的染色方案數(shù)就是
$$\frac{1}{|G|}\sum _{f\in G}{m}^{T(f)}$$
也就是$m^{T(f)}=C(f)$，這個(gè)很顯然，因?yàn)槊總€(gè)循環(huán)節(jié)涂成一種顏色就是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

回到這題的旋轉(zhuǎn)來(lái)，我們可以將其視為$n$個(gè)不同的置換構(gòu)成的一個(gè)置換群。對(duì)于旋轉(zhuǎn)$i$步，它的循環(huán)節(jié)數(shù)量就是$gcd(n,i)$，也就是我們要求
$$\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n?1}{m}^{gcd(n,i)}$$
枚舉一下$gcd(n,i)$
$$\frac{1}{n}\sum _{d|n}{m}^d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(\frac{n}{d},i)==1]$$
哦對(duì)啊好像有$m=n$
$$\frac{1}{n}\sum _{d|n}{n}^d\phi (\frac{n}{d})=\sum _{d|n}{n}^{d?1}\phi (\frac{n}{d})$$
這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度大概是$O(T{n}^{\frac{3}{4}})$的，但是因?yàn)榧s數(shù)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)到不了$\sqrt{n}$所以你可以把它視為常數(shù)比較大的$O(T\sqrt{n})$？

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll P=1e9+7; ll T,n,ans; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } ll phi(ll x){ll ans=x;for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i)continue;while(x%i==0)x/=i;ans=ans/i*(i-1);}if(x>1)ans=ans/x*(x-1);return ans; } ll calc(ll x) {return phi(x)*power(n,n/x-1)%P;} signed main() {scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);ans=0;for(ll i=1;i*i<=n;i++){if(n%i)continue;ans=(ans+calc(i))%P;if(i*i!=n)ans=(ans+calc(n/i))%P;}printf("%lld\n",ans);}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P4980-[模板]Pólya定理的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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