正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3309

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題目大意

$n$個操作

在序列末尾加入一個向量$(x,y)$

詢問加入的第$l～r$個向量中的一個向量和$(x,y)$的點積最大值

強制在線，點積的定義為$x_1{x}_2+y_1{y}_2$

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解題思路

如果對于一個$(x,y)$對于兩個$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$如果后者更大那么有
$$x_{2}x+y_{2}y>x_{1}x+y_{1}y?\frac{y}{x}\le \frac{x_2?x_1}{y_2?y_1}$$
好像和斜率有關，可以維護凸殼來做，因為$y$可能是負數，如果是負數的時候就要求的是下凸殼了，所以兩個凸殼都要維護。

因為強制在線所以上不了傳統藝能$\text{CDQ}$

那怎么動態維護區間凸殼，平衡樹支持動態插入但不支持區間問題。所以考慮線段樹，因為一個位置修改了之后就不會再修改，而且是從左往右加的，可以利用這個性質。

每次我們修改一個位置后，如果一個區間$[L,R]$的節點內已經插入了$R?L+1$個向量（也就是都插完了）的話就直接把它的兩個兒子的凸殼合并起來。

然后詢問的時候分成$logn$個區間詢問的答案取最大值就好了。

合并凸殼的是用歸并排序的話時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define ll long long using namespace std; struct point{ll x,y;point(ll xx=0,ll yy=0){x=xx;y=yy;return;} }z; point operator+(point x,point y) {return point(x.x+y.x,x.y+y.y);} point operator-(point x,point y) {return point(x.x-y.x,x.y-y.y);} ll operator^(point x,point y) {return x.x*y.y-x.y*y.x;} ll operator*(point x,point y) {return x.x*y.x+x.y*y.y;} bool operator<(point x,point y) {return (x.x==y.x)?x.y<y.y:x.x<y.x;}const ll N=4e5+10; char pe[3]; ll n,num,siz[N<<2]; vector<point> v[N<<2][2],tmp;void Make(ll x){ll ls=x*2,rs=x*2+1;for(ll k=0;k<2;k++){ll i=0,j=0,l1=v[ls][k].size()-1,l2=v[rs][k].size()-1;tmp.clear();while(i<=l1||j<=l2){if(i>l1||(j<=l2&&v[rs][k][j]<v[ls][k][i]))tmp.push_back(v[rs][k][j]),j++;else tmp.push_back(v[ls][k][i]),i++;}ll cnt=0;for(ll i=0;i<tmp.size();i++){while(cnt>1&&((v[x][k][cnt-1]-v[x][k][cnt-2])^(tmp[i]-v[x][k][cnt-1]))>=0)v[x][k].pop_back(),cnt--;v[x][k].push_back(tmp[i]);cnt++;}}return; } ll Calc(ll x,point p){ll f=0;if(p.y<0)p=z-p,f^=1;ll l=0,r=v[x][f].size()-2;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;point tmp=v[x][f][mid+1]-v[x][f][mid];tmp.x*=-1;if(p.x*tmp.x>=p.y*tmp.y)r=mid-1;else l=mid+1;}return p*v[x][f][l]; } void Change(ll x,ll L,ll R,ll pos,point p){if(L==R){v[x][0].push_back(p);v[x][1].push_back(z-p);return;}ll mid=(L+R)>>1;siz[x]++;if(pos<=mid)Change(x*2,L,mid,pos,p);else Change(x*2+1,mid+1,R,pos,p);if(siz[x]==R-L+1)Make(x); } ll Ask(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,point p){if(L==l&&R==r)return Calc(x,p);ll mid=(L+R)>>1;if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r,p);if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r,p);return max(Ask(x*2,L,mid,l,mid,p),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,p)); } void dc(ll &x,ll lastans) {if(pe[0]=='E')return;x=x^(lastans&0x7fffffff);return; } signed main() {scanf("%lld%s",&n,pe);ll last=0;for(ll i=1;i<=n;i++){char op[3];ll x,y,l,r;scanf("%s%lld%lld",op,&x,&y);dc(x,last);dc(y,last);if(op[0]=='A'){++num;Change(1,1,n,num,point(x,y));}else{scanf("%lld%lld",&l,&r);dc(l,last);dc(r,last);printf("%lld\n",last=Ask(1,1,n,l,r,point(x,y)));}}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3309-[SDOI2014]向量集【线段树,凸壳】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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