正題

題目鏈接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1355

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題目大意

定義$f_i$表示斐波那契的第$i$項，給出一個大小為$n$的集合$S$求$lcm(f_S)$

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解題思路

如果每個質數的次數分開考慮，那么$gcd$就是次數取$min$，$lcm$就是次數取$max$，所以可以套用$min?max$容斥的式子
$$lcm(S)=\prod _{T?S}gcd(T{)}^{(?1{)}^{|T|+1}}$$
然后因為$gcd(f_x,f_y)=f_{gcd(x,y)}$，那么這題的答案
$$lcm(f_S)=\prod _{T?S}{f}_{gcd(T)}^{(?1{)}^{|T|+1}}$$
這個好像算起來很麻煩，我們可以分開考慮每個$gcd$的貢獻。
定義$f_n={\prod }_{d|n}{g}_d$
$$lcm(f_S)=\prod _{T?S}{?\prod _{d|gcd(T)}{g}_d?}^{(?1{)}^{|T|}+1}$$
$$lcm(f_S)=\prod g_d^{{\sum }_{T?S}[d|gcd(T)](?1{)}^{|T|+1}}$$
然后就是${\sum }_{T?S}[d|gcd(T)](?1{)}^{|T|+1}$，因為沒有了空集，這個東西其實就相當于$[?a_i\in S,d|a_i]$。然后就可以直接枚舉每個$d$來求答案了。
$$lcm(f_S)=\prod _{?a_i\in S,d|a_i}{g}_d$$

考慮$g$怎么構造，我們有$f_n={\prod }_{d|n}{g}_d$，直接移項就是$g_n=f_n?{\prod }_{d|n,d=n}{g}_d$就好了。

時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e6+10,P=1e9+7; ll n,m,g[N],ans; bool v[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } signed main() {scanf("%lld",&n);g[1]=ans=1;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);m=max(m,x);v[x]=1;}for(ll i=2;i<=m;i++)g[i]=(g[i-1]+g[i-2])%P;for(ll i=1;i<=m;i++){ll inv=power(g[i],P-2);for(ll j=2*i;j<=m;j+=i)g[j]=g[j]*inv%P;}for(ll i=1;i<=m;i++){bool flag=0;for(ll j=i;j<=m;j+=i)if(v[j]){flag=1;break;}if(flag)ans=(ans*g[i])%P;}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的51nod1355-斐波那契的最小公倍数【min-max容斥】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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