正題

題目鏈接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/113/problem/2

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題目大意

一個(gè)空序列，每次往末尾加入一個(gè)$[1,m]$中的隨機(jī)一個(gè)數(shù)。如果末尾兩個(gè)數(shù)相同都為$x$且$(x<t)$，那么將它們合并成$x+1$。

如果序列長度為$n$且無法合并則結(jié)束，求序列期望和。

$n,m\in [1,10^3],t\in [1,10^9]$

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解題思路

首先顯然地$t=min\{n+m?1,t\}$。

之后考慮序列中的每一個(gè)位置可能的數(shù)，因?yàn)槊糠N情況都有可能，所以我們需要算概率先，設(shè)$p_{i,j}$表示剩余$i$個(gè)位置時(shí)出現(xiàn)$j$的概率，那么有$p_{i,j}=\frac{1}{m}\times [j\le m]+p_{i,j?1}^2$（直接出現(xiàn)或者合并出來）。

設(shè)$p_{i,j}\times q_{i,j}$表示剩下$i$個(gè)位置且第一個(gè)最終是$j$的概率，那么有$q_{i,j}=1?p_{i?1,j}\times [j<t]$（$q_{i,j}$就表示在出現(xiàn)了$j$的前提下不變的概率，減去會(huì)變的概率就好了）。

但是因?yàn)槊總€(gè)位置的概率不是獨(dú)立的，所以不能直接用這個(gè)來算答案。

設(shè)$p_{i,j}\times g_{i,j}$表示在剩下$i$個(gè)位置且第一個(gè)最終是$j$時(shí)和的期望和（注意期望=概率*次數(shù)），$p_{i,j}\times f_{i,j}$表示剩下$i$個(gè)位置時(shí)第一個(gè)出現(xiàn)過$j$的情況的期望和，$an{s}_i$表示剩下$i$個(gè)位置時(shí)的期望和。

那么有
$$an{s}_i=\sum _{j=1}^t{p}_{i,j}\times g_{i,j}$$

考慮$g$的遞推式有
$$g_{i,j}=q_{i,j}\times j+an{s}_{i?1}?p_{i?1,j}\times f_{i?1,j}$$
（有$q_{i,j}$的概率最終是$j$，填完剩下的，且下一個(gè)不能出現(xiàn)$j$）
考慮$f$的遞推式有
$$f_{i,j}=g_{i,j}+(1?q_{i,j})f_{i,j+1}$$
（第一種是最終不變，第二種是變成了$j+1$的情況）

這樣就可以遞推了，時(shí)間復(fù)雜度$O(n^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2100,P=1e9+7; ll n,m,t,p[N][N],q[N][N],g[N][N],f[N][N],ans[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } signed main() {freopen("sequence.in","r",stdin);freopen("sequence.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);ll inv=power(m,P-2);t=min(t,n+m-1);for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=t;j++){p[i][j]=(inv*(j<=m)+p[i-1][j-1]*p[i][j-1]%P)%P;q[i][j]=(1-(j<t)*p[i-1][j]+P)%P;}for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=t;j>=1;j--){if(j!=t)g[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1]-f[i-1][j]*p[i-1][j]%P+P)%P;elseg[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1])%P;f[i][j]=(g[i][j]%P+(1-q[i][j])*f[i][j+1]%P)%P;(ans[i]+=g[i][j]*p[i][j])%=P;}}printf("%lld\n",ans[n]);return 0; }

總結(jié)

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