正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT3957

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題目大意

$n$個節點的一棵樹，每個節點有$0/1$。每次刪除一個根節點，然后把該節點的值填入序列，求最終序列的最小逆序對數量。

$n\le 2\times 10^5$

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解題思路

考慮一種貪心，開始每個節點作為一個單獨的聯通塊，每次選擇一個節點把它和它父節點的聯通快合并并且它的聯通快排在它父節點的后面。

顯然這樣的選擇可以構成所有可能的序列，現在需要考慮選擇順序。設$cn{t}_{x,0/1}$表示聯通塊$x$的$0/1$數量。

那么一個節點的兩個子節點兩個聯通塊$x,y$的順序，$x$排在$y$前面就會產生$cn{t}_{x,1}\times cn{t}_{y,0}$的貢獻，所以如果$x$排在$y$前面那么有
$$cn{t}_{x,1}\times cn{t}_{y,0}\le cn{t}_{y,1}\times cn{t}_{x,0}$$
化一下就是按照$\frac{cn{t}_{x,1}}{cn{t}_{x,0}}$從小到大選就好了。維護一個堆即可。

時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; const int N=2e5+10; int n,f[N],fa[N],cnt[N][2]; long long ans; struct node{int x,w0,w1;node(int xx=0){x=xx;w0=cnt[xx][0];w1=cnt[xx][1];return;} }; bool operator<(node x,node y) {return 1ll*x.w1*y.w0>1ll*x.w0*y.w1;} priority_queue<node> q; int find(int x) {return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));} int main() {scanf("%d",&n);for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%d",&f[i]);for(int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);cnt[i][x]++;fa[i]=i;if(i>1)q.push(node(i));}while(!q.empty()){node w=q.top();q.pop();int x=find(w.x);if(fa[x]!=x)continue;if(cnt[x][0]!=w.w0)continue;if(cnt[x][1]!=w.w1)continue;int y=find(f[x]);fa[x]=y;ans+=1ll*cnt[y][1]*cnt[x][0];cnt[y][0]+=cnt[x][0];cnt[y][1]+=cnt[x][1];if(y)q.push(node(y));}printf("%lld\n",ans);return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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